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相关试卷

1、一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（）

A、 $\frac{C_{3}^{2} C_{7}^{1}}{C_{10}^{3}}$ B、 $\frac{C_{3}^{1} C_{7}^{2}}{C_{10}^{3}}$ C、 $\frac{C_{3}^{1} C_{10}^{2}}{C_{10}^{3}}$ D、 $\frac{C_{3}^{2} C_{10}^{1}}{C_{10}^{3}}$

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2、在复平面内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 1 + 3 i$ ，向量 $\vec{A C}$ 对应的复数为 $- 2 + i$ ，则向量 $\vec{B C}$ 对应的复数为（）

A、 $- 3 - 4 i$ B、 $- 3 + 4 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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3、把满足任意 $x, y \in R$ 总有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ 的函数称为和弦型函数.

(1)、已知 $f (x)$ 为和弦型函数且 $f (1) = \frac{5}{4}$ ，求 $f (0), f (2)$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，定义数列： $a_{n} = 2 f (n + 1) - f (n) (n \in N_{+})$ ，求 ${log}_{2} \frac{a_{1}}{3} + {log}_{2} \frac{a_{2}}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {log}_{2} \frac{a_{2024}}{3}$ 的值；

(3)、若 $g (x)$ 为和弦型函数且对任意非零实数 $t$ ，总有 $g (t) > 1$ ．设有理数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，判断 $g (x_{2})$ 与 $g (x_{1})$ 的大小关系，并给出证明．

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4、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 0$ ， $S_{12} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知 $△ A B C$ ， $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，第三个顶点C在曲线 $y = 3 x^{2} - 1$ 上移动，则 $△ A B C$ 的重心的轨迹方程是．

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6、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{2 n - 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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7、若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 5 m = 0$ 表示的曲线为圆，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{4} = 40$ ， $a_{3} - a_{5} = 30$ ，则（）

A、公比为 $\frac{1}{4}$ B、 $a_{2023} = 16 a_{2025}$ C、当 $n \geq 6$ 时， $a_{n} < \frac{1}{2}$ D、 $\{a_{n}\}$ 的前10项积为1

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9、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，若 $S_{5} = 5$ ， $S_{15} = 105$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、550 B、520 C、450 D、425

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10、已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ， $B (- 1, 3)$ ，且圆心在直线 $y = x + 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $D$ 在圆上运动，点 $E (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $D$ ， $E$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $D E$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|E M| \cdot |E N|$ 恒为定值.

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11、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，点E在棱AB上移动．

(1)、求证： $D_{1} B ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、当点E为棱AB的中点时，求点B₁到平面ECD₁的距离；

(3)、当AE为何值时，平面D₁EC与平面AECD所成角为 $\frac{π}{4}$ ？

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12、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $P D$ 所成角的余弦值.

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13、直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x - 4 y + C = 0$ 间的距离为3，则 $C =$ .

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14、点 $P (3, 1)$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离为.

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F$ 分别是棱 $A B 、 B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ ，当 $A_{1}$ 、 $E 、 F 、 C_{1}$ 共面时，直线 $C_{1} F$ 和平面 $A_{1} D E$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{30}$

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16、人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）．

A、 $x^{2} + y^{2} = 144$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 144$ C、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 169$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 169$

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17、直线 $l : x + 2 y + 4 = 0$ 被圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ 截得的弦长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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18、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {cos}^{2} x + m$ 的最小值为 $- 1$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(3)、若 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \frac{11}{5}, x_{0} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，求 $cos (2 x_{0} + \frac{π}{6})$ 的值.

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19、已知集合 $A = \{x| - 1 < x < 1\}, B = \{x| x (x - 2) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x| - 1 < x < 0\}$ B、 $\{x| 0 < x < 1\}$ C、 $\{x| 1 < x < 2\}$ D、 $\{x| - 1 < x < 2\}$

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 2 a_{1} = 2$ ， $b_{3} + b_{4} = 24$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n} + \frac{1}{n^{2} + n}$ 且 $\{b_{n}\}$ 为正项等比数列．

(1)、求 $b_{n}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < 2^{n + 1} - 2$ ．

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