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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{2} + 1$ ， $h (x) = a s i n x + 1$ （ $a > 0$ ）．

(1)、证明：当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) > g (x)$ ；

(2)、讨论函数 $F (x) = f (x) - h (x)$ 在 $(0, π)$ 上的零点个数．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $△ P A D$ 为等边三角形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = A B = 2 B C = 2$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ P C$ ；

(2)、点 $N$ 在棱 $P C$ 上运动，求 $△ A D N$ 面积的最小值；

(3)、点 $M$ 为 $P B$ 的中点，在棱 $P C$ 上找一点 $Q$ ，使得 $A M / /$ 平面 $B D Q$ ，求 $\frac{P Q}{Q C}$ 的值．

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3、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对应的边分别为a ， b ， c ， $\sqrt{3} a c o s B - b s i n A = \sqrt{3} c$ ， $c = 2$ ，

(1)、求A的大小：

(2)、点D在BC上，
（Ⅰ）当 $A D ⊥ A B$ ，且 $A D = 1$ 时，求AC的长；
（Ⅱ）当 $B D = 2 D C$ ，且 $A D = 1$ 时，求 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C}$ ．

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4、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $T (1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程：

(2)、求椭圆C上的点到直线l： $y = 2 x$ 的距离的最大值．

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，定义 $P (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q (x_{2}, y_{2})$ 两点之间的“直角距离”为 $d (P, Q) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ．已知两定点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，则满足 $d (M, A) + d (M, B) = 4$ 的点M的轨迹所围成的图形面积为．

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6、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{3 n + 1}{2^{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $\prod_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ 的最小值为．

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7、某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布 $N (150, σ^{2})$ ，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为.

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8、如图，平面 $A B N ⊥$ $α$ ， $| A B | = | M N | = 2$ ， M为线段AB的中点，直线MN与平面 $α$ 的所成角大小为30°，点P为平面 $α$ 内的动点，则（）

A、以 $N$ 为球心，半径为2的球面在平面 $α$ 上的截痕长为 $2 π$ B、若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线 C、若P到直线MN的距离为1，则 $∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$ D、满足 $∠ M N P = 45 °$ 的点P的轨迹是椭圆

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9、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n$ ， $n \in N^{*}$ ，在 ${a_{n}}$ 中依次选取若干项（至少3项） $a_{k_{1}}$ ， $a_{k_{2}}$ ， $a_{k_{3}}$ ， $⋅ ⋅ ⋅$ ， $a_{k_{n}}$ ， $⋅ ⋅ ⋅$ ，使 ${a_{k_{n}}}$ 成为一个等比数列，则下列说法正确的是（）

A、若取 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 3$ ，则 $k_{3} = 9$ B、满足题意的 ${k_{n}}$ 也必是一个等比数列 C、在 ${a_{n}}$ 的前100项中， ${a_{k_{n}}}$ 的可能项数最多是6 D、如果把 ${a_{n}}$ 中满足等比的项一直取下去， ${a_{k_{n}}}$ 总是无穷数列

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10、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ B、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、 $| z_{1} - i \cdot z_{1} | = | z_{1} + i \cdot z_{1} |$ D、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$

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11、已知点F为双曲线C： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P ， $∠ F P N$ 恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（）

A、 $(2, \frac{14}{3})$ B、 $(2, \frac{17}{3})$ C、 $(\sqrt{3}, \frac{14}{3})$ D、 $(\sqrt{3}, \frac{17}{3})$

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12、某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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13、据一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $⋅ ⋅ ⋅$ ， $(x_{10}, y_{10})$ ，求得经验回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + 0.4$ ，且平均数 $\bar{x} = 3$ ．现发现这组样本数据中有两个样本点 $(1.2, 0.5)$ 和 $(4.8, 7.5)$ 误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.1 x + a$ ，则 $a =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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14、若把函数 $f (x) = s i n x + a c o s x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的是一个偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且 $∠ A O M = 150 °$ ，在下列角度中，当角 $θ$ 取哪个值时，绳 $O B$ 承受的拉力最小.（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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16、三个函数 $f (x) = x^{3} + x - 3$ ， $g (x) = l n x + x - 3$ ， $h (x) = e^{x} + x - 3$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则 $a, b, c$ 之间的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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17、已知集合 $A = {x | y = l n (x - 1)}$ ， $B = {y | y = x^{2} - 4 x, x \in A}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[- 4, 1)$ C、 $(- 3, + \infty)$ D、 $[- 4, + \infty)$

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18、常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} + ⋯$ 其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ⋯ \times n, e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯ ⋯$ ．以上公式称为泰勒公式．设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．

(1)、证明： $e^{x} \geq 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ：

(3)、设 $F (x) = g (x) - a (1 + \frac{x^{2}}{2})$ ，证明：当 $a \leq 1$ 时， $F (x)$ 的极小值点是0．

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20、已知函数 $f (x) = l n x - a x (a \in R)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{2}]$ 上有且仅有 $2$ 个零点，求 $a$ 的取值范围.

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