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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} = 5$ ， $S_{8} = 64$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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2、已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标 $F (1, 0)$ ，斜率为 $- 1$ 的直线l与C相交于A，B．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若 $|A F| + |B F| = 10$ ，求l的方程．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*}),$ 且 $a_{5}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列，

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值及此时n的值．

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4、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 7$ ，前 $3$ 项之和 $S_{3} = 21$ ，则公比 $q$ 的值是.

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左、右顶点， $P$ 为 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $6$ B、 $|P F_{1}|$ 的最大值为 $3$ C、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$

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6、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差为d， $a_{10} < 0$ 且 $a_{10} + a_{11} > 0$ 则下列结论正确的有（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{9} = S_{10}$ C、 $S_{19} < 0$ D、 $S_{20} > 0$

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7、小明为锻炼身体，增强体质，计划从假期第一天开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里，则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（）

A、8 B、9 C、4 D、5

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8、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点，若 $M F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{2}$

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9、过点 $P (2, 3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 5 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$

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10、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则 $E$ 的焦距等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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11、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{11} = 24$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8}$ 的值是（）

A、36 B、48 C、72 D、24

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12、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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13、为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量 $W$ （单位： $kg$ ）与单株肥料费用 $x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 2.4), 0 \leq x \leq 2 \\ 48 - \frac{48}{x + 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，单株总成本投入为 $30 x$ （单位：元）．已知这种水果的市场售价为 $10$ 元 $/ kg$ ，且供不应求，记该生态水果的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求 $f (x)$ 的函数解析式；

(2)、当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？

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14、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a \cdot 5^{x}}{5^{x} + 1}, x \in (b - 3, 2 b)$ 是奇函数，

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 是区间 $(b - 3, 2 b)$ 上的减函数且 $f (m - 1) + f (2 m + 1) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、已知 $α$ 角的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 4, 3)$ .

(1)、求 $sin α, cos α, tan α$ ；

(2)、求 $f (α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} + α) + 2 \cos α}{\sin (π - α) + 2 \cos α}$ 的值.

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16、已知函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ ， $g (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6})$ . 若对于任意 $x_{1} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，总存在唯一的 $x_{2} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) + 2$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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17、计算 ${(\frac{1}{64})}^{- \frac{2}{3}} + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_{7} 2}$ =.

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18、如图，在扇形OPQ中，半径 $O P = 1$ ，圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{6}$ ， C是扇形弧PQ上的动点，矩形 $A B C D$ 内接于扇形，记 $∠ P O C = α$ ．则下列说法正确的是（）

A、弧PQ的长为 $\frac{π}{6}$ B、扇形OPQ的面积为 $\frac{π}{6}$ C、当 $\sin α = \frac{1}{3}$ 时，矩形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{9}$ D、矩形 $A B C D$ 的面积的最大值为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

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19、下列说法正确的是（）

A、命题：“ $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ ” B、函数 $f (x) = a^{x - 2} + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 恒过定点 $(2, 2)$ C、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x + 2}$ 的值域为 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1, 3]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$

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20、下列命题正确的是（）

A、若 $a > b, c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a < b, c < d$ ，则 $a c < b d$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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