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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{x - 1}\}$ ， $B = \{x |0 < x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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2、已知函数 $f (x)$ 在R上可导，且满足① $f (0) = 0$ ；② $f^{'} (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、证明： $f (x) \geq x f^{'} (0)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上恒成立；

(2)、记 $a = f^{'} (0) > 0$ ，当 $x > 0$ 时，恒有 $f (x) < e^{x} - 1$ ，求证： $0 < a \leq 1$ ；

(3)、若 $f^{'} (0) = 1$ ， $f^{'} (1) = 2$ ， $f (1) > 1 + \ln 2$ ，记 $g (x) = \ln (1 + x) + x$ ，证明：存在唯一的 $x_{0} \in (0, 1)$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ .

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3、已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为 $(0, \sqrt{2})$ ，且过点 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $N (x_{3}, y_{3})$ 在C上，
①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求 $△ A B N$ 的面积的最大值；
②记线段 $A B$ 中点为M， $\vec{M N} = 3 \vec{M O}$ ，记 $△ O B N$ 的面积为 $S_{△ O B N}$ ，判断 $S_{△ O B N}$ 是否为定值，并说明理由.

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4、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $A B = A A_{1}$ ，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = \frac{π}{3}$ ， E，F，G，H分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C_{1} D_{1}$ ， $D_{1} A_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $E F C_{1} / /$ 平面 $G H A$ ；

(2)、求 $B D_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 所成角的余弦值.

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5、某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 50, \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 400, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 2200$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 300$ .

(1)、求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程；

(2)、该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（ $0 \leq x \leq 10$ ），主播佣金激励投入（ $10 - x$ ）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（ $12 t - t^{2}$ ）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
参考公式：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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6、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $3 a_{1} + 5 a_{2} + \dots + (2 n + 1) a_{n} = 2 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2 n - 1}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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7、已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $P A = 3$ .半径为 $r_{1}$ 的球 $O_{1}$ 与三棱锥的四个面都相切，则 $r_{1} =$ ；若半径为 $r_{2}$ 的球 $O_{2}$ 与面 $P A B$ ，面 $P A C$ ，面 $A B C$ 及球 $O_{1}$ 都相切，则 $r_{2} =$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 7$ ， $b = 4$ ， $c = \sqrt{37}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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9、不等式 $\frac{1 - x}{x} \geq 2$ 的解集是.

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10、为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（）

A、 $[90, 100]$ 对应矩形的高度为 $0.016$ B、样本众数估计值为75 C、样本平均数估计值为 $77.4$ D、样本成绩的第70百分位数落在 $[70, 80)$ 内

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11、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{2}$ B、函数 $g (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{2}, 0)$ C、函数 $g (x)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ D、不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集为 $[- \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π] (k \in Z)$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若 $| A B | = |F_{1} F_{2}|$ ， $\frac{|A F_{1}|}{|B F_{1}|} \leq \sqrt{3}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{3} - 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{3} - 1]$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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13、已知函数 $f (x) = |\log_{2} (a x + b)|, (a + b > 1)$ 的图象过点 $(1, 1)$ ，且无限接近直线 $x = 3$ ，但又不与该直线相交，则 $a - b$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 4$ 或 $- 1$ D、 $- 1$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{10}{13}, \frac{15}{13})$ B、 $(- \frac{10}{13}, - \frac{15}{13})$ C、 $(- \frac{20}{13}, - \frac{30}{13})$ D、 $(\frac{20}{13}, \frac{30}{13})$

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15、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与过点 $(4, 0)$ 的直线交于A，B两点，且满足 $O A ⊥ O B$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 6 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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16、春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（）

A、90 B、150 C、240 D、300

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17、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (x - 1), x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x) = - 3$ ，则 $f (x - 8) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、 $x, y$ 均为整数是 $x y$ 为整数的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知集合 $A = \{x| (x + 1) (x - 2) < 0\}$ ，集合 $B = \{x| |x - 1| \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 1, 2]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(0, 2]$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上极值点的个数，并说明理由；

(2)、将函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点从小到大排列，形成数列 $\{x_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = f (x_{n})$ ．
证明：（ⅰ） $a_{1} + a_{2} < 2$ ；
（ⅱ） $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < n, n \in N^{*}$ ．

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