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相关试卷

1、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 B、已知两个向量 $\vec{a} = (m, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n = 5$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ D、 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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2、直线 $l_{1} : x + (m + 1) y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : (m + 1) x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点P，对任意实数m，直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别恒过定点 $A, B$ ，则 $| P A | + | P B |$ 的最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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3、若向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，则（）

A、 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = - \frac{1}{2}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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4、直线 $x - \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $I = \{0, 1\}$ ，有 $T_{n} = \{p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + ... + p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} | p_{1}, p_{2}, ..., p_{n - 1}, p_{n} \in I\}$ ，
（i）求证：对任意实数 $t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ；
（ii）求 $T_{n}$ 所有元素之和．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B A P = ∠ B A D$ ， $C D = 1$ ， $A B = A P = A D = 2$ ， $D P = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ D P$ ；

(2)、若 $C D ⊥ A D$ ，求直线 $B P$ 与平面 $C D P$ 所成角的正弦值．

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7、若关于x的不等式 $ln x \leq \frac{1}{a} x^{2} - b x + 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值是.

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8、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < π)$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{5 π}{6}$

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9、已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $l \cap α = A$ ，且 $l$ 与 $α$ 不垂直，则 $l$ 与 $m$ 一定不垂直 B、若 $l$ 与 $α$ 不平行，则 $l$ 与 $m$ 一定是异面直线 C、若 $l \cap α = A$ ，且 $A \notin m$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能平行 D、若 $l / / α$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能垂直

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10、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3\}, C = \{\begin{matrix} x | x^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}\}$ ，则 $(A \cap B) \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{\begin{matrix} 3 \end{matrix}\}$ D、 $\{1, 2\}$

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11、如图，在空间平移 $△ A B C$ 到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，连接对应顶点，设 $\vec{A A^{'}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ， M是 $B C^{'}$ 的中点，N是 $B^{'} C^{'}$ 的中点，用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示向量 $\vec{A M}$ ， $\vec{A N}$ .

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12、已知直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 分别在第一、二象限， $Q$ 为线段 $A B$ 的中点．设 $C$ 在点 $A, B$ 处的切线交于点 $P$ ， $D$ 为曲线段 $A B$ （不含端点）上一点， $C$ 在点 $D$ 处的切线与直线 $P A, P B$ 分别交于点 $M, N$ ．

(1)、证明：
①直线 $P Q ⊥ x$ 轴；
②四边形 $M P N Q$ 的面积为定值；

(2)、设 $△ P M N$ 的外接圆为圆 $E$ ，问：圆 $E$ 是否过定点（点 $P$ 除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、当 $a = 0 时，$ 求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：

合格
不合格
男生
35
15
女生
45
5

(1)、依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关；

(2)、从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4^{x} - 1, x \leq a \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > a \end{array}$ ，其中 $a > 0$ ．
（1）当 $a = 2$ 时， $f (f (4))$ ．
（2）若 $f (x)$ 有最大值，则 $a$ 的取值范围为．

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16、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (1, 2)$ ，则 $tan (2 α + \frac{π}{4}) =$ .

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17、若首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 $\{S_{n} + 2\}$ 为等比数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为递增数列 D、 $\{a_{n}\}$ 中存在三项构成等差数列

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18、已知圆锥的顶点为 $S, O$ 为底面圆心，母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直， $△ S A B$ 的面积为2， $S A$ 与圆锥底面所成的角为 $30^{\circ}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、圆锥的高为 $\sqrt{2}$ B、圆锥的侧面积为 $3 π$ C、二面角 $S - A B - O$ 的大小为 $45^{\circ}$ D、圆锥侧面展开图的圆心角为 $120^{\circ}$

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19、下列求导运算正确的是（）

A、 $(\ln 5)^{'} = \frac{1}{5}$ B、 ${(\ln x + \frac{3}{x})}^{'} = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}$ C、 ${(\frac{\sin x}{x})}^{'} = \frac{x \cos x + \sin x}{x^{2}}$ D、 ${(3^{x} \sin 2 x)}^{'} = 3^{x} (\ln 3 \cdot \sin 2 x + 2 \cos 2 x)$

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20、已知函数 $f (x) = x \ln x + m e^{x}$ 有两个极值点，求 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{1}{e}, 0)$ B、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{e})$ D、 $(0, \frac{1}{e}]$

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	合格	不合格
男生	35	15
女生	45	5

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828