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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} > 1\}, B = \{x |2^{x} < \frac{1}{2}\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \cap B = {x ∣ x < - 1}$ B、 $A \cap B = {x ∣ - 1 < x < 1}$ C、 $A \cup B = {x ∣ x < - 1}$ D、 $A \cup B = {x ∣ x < 1}$

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2、自 $2019$ 年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{3}$ ，现对 $4$ 份样本进行核酸检测，求这 $4$ 份中检验结果为阳性的份数 $ξ$ 的分布列及期望；

(2)、若 $p = 1 - 2^{- \frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本等待检验，并提供“ $k$ 合 $1$ ”检验方案：将 $k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“ $k$ 合 $1$ ”检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E (X)$ 与 $2 k$ 的大小.

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3、已知 $x = 3$ 是函数 $f (x) = a \ln (1 + x) + x^{2} - 10 x$ 的一个极值点.
（Ⅰ）求 $a$ ；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）若直线 $y = b$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象有3个交点，求 $b$ 的取值范围.

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4、已知 $tan α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2}$ ）.

(1)、求 $\frac{sin α + 3 cos α}{2 cos α - sin α}$ 的值；

(2)、若 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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5、对于实数 $x, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.6]= 0,[- 1.2] = - 2$ .已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} (n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $[S_{1}] + [S_{2}] + \dots + [S_{25}] =$ .

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6、函数 $f (x) = 2 \cos x + \sin x$ 的最大值为.

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7、直线 $l$ ： $y = a x$ 与 $y = e^{x}$ 的图象交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点 $(x_{1} < x_{2})$ ， $y = e^{x}$ 在A､B两点的切线交于 $C$ ， $A B$ 的中点为 $D$ ，则（）

A、 $a \leq e$ B、点 $C$ 的横坐标大于1 C、 $|x_{1} - x_{2}| < \sqrt{{(a + 2 - e)}^{2} - 4}$ D、 $C D$ 的斜率大于0

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8、函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + φ)$ 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{2 π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$ D、把函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 经过点 $(2, 2)$ ， $O$ 为抛物线的顶点，点 $A$ ， $B$ 在抛物线上，以 $A$ ， $B$ 为切点的两条切线交于点 $Q$ .

(1)、求 $p$ 的值及 $C$ 的准线方程；

(2)、设直线 $A B$ 分别与直线 $O Q$ ， $x$ 轴的交于点 $S$ ， $T$ （ $S$ ， $T$ 不重合），且 $A B ⊥ O Q$ .
（i）证明：存在定点 $D$ ，使得 $|D S|$ 为定值；
（ii）求 $\frac{|Q S|}{|S T|}$ 的最小值.

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10、已知 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n - 1} b_{2} + a_{n} b_{1} = (n + 1) \cdot b_{n}$ ，且 $b_{n} = k^{n} (k \in R$ ，且 $k \neq 0)$ ．

(1)、若数列 $\{b_{n} + 3^{n}\}$ 为等比数列，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 2$ 时，
（i）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（ii）设 $c_{n} = \frac{\log_{2} (2 a_{n + 2})}{b_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1} \cdot \log_{2} (2 a_{n + 1})} (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} \in [\frac{3}{4}, 1)$ ．

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11、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B_{1} B$ 是等边三角形， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明：平面 $A C B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、点 $F$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上一动点，若直线 $C F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $B_{1} C F$ 的夹角的余弦值.

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\frac{3}{4} a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为单调递增数列，且 $c_{n} = \{\begin{matrix} \begin{matrix} a_{n}, & n 为奇数 \end{matrix} \\ \begin{matrix} l o g_{2} a_{n}, & n 为偶数 \end{matrix} \end{matrix}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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13、已知在平面直角坐标系中点 $A (- 1, 2)$ 与点 $B (4, 7)$ 均在圆 $O_{1}$ 上.

(1)、求线段 $A B$ 的垂直平分线方程；

(2)、若圆心 $O_{1}$ 在直线 $3 x - 2 y - 8 = 0$ 上，且过点 $M (3, 4)$ 的直线 $l$ 被圆 $O_{1}$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ ，求 $l$ 的方程.

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14、记动椭圆 $C :$ $x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $C$ 上存在点 $M (x_{0}, y_{0})$ 使得 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ，且 $x_{0}$ 的取值范围为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围为．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = \frac{n}{2} - 1$ ， $b_{n} = \frac{n}{3} - 2$ ，将 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的公共项按从小到大依次排列得到新的数列 $\{c_{n}\}$ ，则 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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16、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x + m = 0$ ， $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 外切，则 $m =$ .

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17、记各项为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} + T_{n} = λ$ （ $λ > 0$ ），则（）

A、若 $5 a_{2} = 4 a_{1}$ ，则 $λ = 3$ B、当 $λ = 1$ 时， $a_{n} = \frac{n}{n^{2} - {(- 1)}^{n}}$ C、 ${a_{n}}$ 可能为等比数列，亦可能为等差数列 D、若数列 $\{\frac{1}{T_{n}}\}$ 为等差数列，则 $λ = 1$ ，或 $λ = 2$

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18、已知点 $P$ 是双曲线 $E :$ $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，若△ $P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $15 \sqrt{3}$ ，则（）

A、点 $P$ 的纵坐标为 $- 3 \sqrt{3}$ B、△ $P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $30$ C、△ $P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\sqrt{3}$ D、 $∠ F_{1} P F_{2}$ 大于 $\frac{π}{4}$

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19、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 2, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) / / \vec{a}$ B、 $| \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 3 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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20、已知直线 $l_{1} : m x + y + 3 m = 0$ 和 $l_{2} : x - m y + 3 m - 1 = 0$ ， $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的交点记为 $P$ ，若点 $Q (2, \frac{3}{2})$ ，则 $| P Q |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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