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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中，点 $D (1, 2)$ ， $E (2, 0)$ ， $F (3, 2)$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，则（）

A、 $\vec{E F} = (1, 2)$ B、 $\vec{C F} = (1, - 2)$ C、点A的坐标为 $(2, 4)$ D、 $△ A B F$ 的面积为4

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2、已知圆锥 $P O$ 的侧面面积为 $\sqrt{15} π$ ，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则圆锥 $P O$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{25 π}{4}$ B、 $\frac{25 π}{2}$ C、 $25 π$ D、 $\frac{33 π}{2}$

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3、若将函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左或右平移 $φ$ 个单位，所得的图象与 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $φ$ 的最小正值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4、已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为a，b，c，且 $a : b : c = 5 : 7 : 8$ ，则此三角形的最大角与最小角之和为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5、若点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $A B = \sqrt{6}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B O} + \vec{C B} \cdot \vec{B O} =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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6、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，其底面 $A B C D$ 水平放置时的斜二测画法直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 为平行四边形，如图所示，已知 $A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'} = 3$ ， $A^{'} D^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、12

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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8、某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（）

A、25 B、30 C、35 D、50

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9、已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + \sqrt{3} i$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{a x}}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, 2]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $x_{1} + x_{2} = 4$ 且 $0 < x_{1} < 2$ ，比较 $f (x_{1})$ 与 $f (x_{2})$ 的大小，并说明理由

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11、有 $n^{2} (n \geq 4)$ 个正数，排成n行n列的数表：其中 $a_{i j}$ 表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知 $a_{24} = 1$ ， $a_{42} = \frac{1}{8}$ ， $a_{43} = \frac{3}{16}$ .
$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & \dots & a_{3 n} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & \dots & a_{4 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & a_{n 4} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

(1)、求公比.

(2)、求 $a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}$ .

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12、如图，P为圆锥的顶点， $A C$ 为圆锥底面的直径， $△ P A C$ 为等边三角形，O是圆锥底面的圆心． $△ A B D$ 为底面圆O的内接正三角形，且边长为 $2 \sqrt{3}$ ，点E为线段 $P C$ 中点．

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、M为底面圆O的劣弧 $A B$ 上一点，且 $∠ A C M = 30 °$ ．求平面 $A M E$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值．

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13、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 a \sin C - \sqrt{3} c = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $4 \sin B - 4 \sin C$ 的取值范围．

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14、已知四面体 $A - B C D$ ，其中 $A D = B C = 2$ ， $C D = A B = \sqrt{5}$ ， $A C = B D = \sqrt{7}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则直线 $A D$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为；四面体 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} S_{n + 1} + S_{n + 1} = 3$ ， $a_{1} = α (0 < α < 1)$ ，则（）

A、当 $0 < α < \frac{\sqrt{13} - 1}{4}$ 时， $a_{2} > a_{1}$ B、 $a_{3} > a_{2}$ C、数列 $\{S_{2 n - 1}\}$ 单调递增， $\{S_{2 n}\}$ 单调递减 D、当 $α = \frac{3}{4}$ 时，恒有 $\sum_{k = 1}^{n} |S_{k} - 1| < \frac{5}{4}$

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16、已知 $x \geq 1$ ， $y > 1$ ，且 $x y = 4$ ，则（）

A、 $1 \leq x \leq 4$ ， $1 < y < 4$ B、 $4 \leq x + y \leq 5$ C、 $\frac{y}{x}$ 最大值为4 D、 $4 x + y^{2}$ 的最小值为12

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17、如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍， $A P ⊥ A Q$ ，则 $P Q =$ （）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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18、已知双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{k - 4} + \frac{y^{2}}{k - 5} = 1$ ，则该双曲线的焦距是（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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19、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ；
①若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，都有 $\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] \leq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称 $y = f (x)$ 在 $D$ 上为凹函数（当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时，等号成立），且凹函数有以下性质：对 $\forall x_{i} \in D (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都有 $\frac{1}{n} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})] \leq f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n})$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时，等号成立）.
②若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，都有 $\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称 $y = f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数（当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时，等号成立），且凸函数有以下性质：对 $\forall x_{i} \in D (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都有 $\frac{1}{n} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})] \geq f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n})$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时，等号成立）.

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 在 $(0, π)$ 上是否具有凹凸性，并用上述定义法证明你的结论.

(2)、设 $L$ 为 $△ A B C$ 的周长， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积；
（i）求： $sin A + sin B + sin C$ 的取值范围；
（ii）证明： $L^{2} \geq 12 \sqrt{3} S$ .

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20、2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有 $\frac{3}{5}$ 的学生学过围棋，将频率视为概率.

(1)、从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(2)、经过海选，最终决定 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 、 $Q_{4}$ 、 $Q_{5}$ 、 $Q_{6}$ 、 $Q_{7}$ 、 $Q_{8}$ 八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知 $Q_{2}$ ~ $Q_{8}$ 这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为 $\frac{1}{2}$ ， $Q_{1}$ 棋手与其他棋手对弈时， $Q_{1}$ 获胜的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每局对弈结果相互独立，无和棋情况.
（ⅰ）求棋手 $Q_{2}$ 最终夺冠的概率；
（ⅱ）求棋手 $Q_{2}$ 与 $Q_{1}$ 有过对弈且最终 $Q_{2}$ 获得亚军的概率.

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