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相关试卷

1、若直线 $x = 1$ 上一点 $P$ 可以作曲线 $x = ln y$ 的两条切线，则点 $P$ 纵坐标的取值范围为．

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2、对一列整数，约定：输入第一个整数 $a_{1}$ ，只显示不计算，接着输入整数 $a_{2}$ ，只显示 $|a_{1} - a_{2}|$ 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为 $p$ .若将从1到2022的2022个整数随机地输入，则（）

A、 $p$ 的最小值为0 B、 $p$ 的最小值为1 C、 $p$ 的最大值为2020 D、 $p$ 的最大值为2021

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3、高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[- 2.1] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ . 已知函数 $f (x) = s i n |x| + |s i n x|$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（）

A、函数 $g (x)$ 不是周期函数； B、函数 $g (x)$ 的值域是 ${0 ， 1 ， 2}$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称： D、方程 $\frac{π}{2} \cdot g (x) = x$ 只有一个实数根；

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4、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $A, B$ ，点 $B^{'}$ ， $E$ 在 $C$ 的准线 $l^{'}$ 上，且 $B B^{'} ∥ x$ 轴，则下列说法正确的是（）

A、 $|A F| + 9 |B F|$ 的最小值为22 B、 $A, O, B^{'}$ 三点共线 C、存在点 $E$ ，使得 $F$ 到直线 $E A, E B$ 的距离相等 D、若 $E F ⊥ A B$ ，则 $E A ⊥ E B$

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5、已知函数 $f (x) = ln \frac{x}{x - 2} + x - 1$ ， $g (x) = e^{x} - e^{2 - x}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的所有实数解的和是（）

A、6 B、4 C、2 D、1

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6、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\frac{a}{\cos A}$ ， $\frac{b}{\cos B}$ ， $\frac{c}{\cos C}$ 成等差数列，则 $\frac{\sin A}{\cos B \cos C}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、若在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, B C = 1, A A_{1} = 4$ ．则四面体 $A B B_{1} C_{1}$ 与四面体 $A_{1} C_{1} B D$ 公共部分的体积为（）

A、 $\frac{3}{13}$ B、 $\frac{10}{39}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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8、已知圆M的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x - 8 y - 17 = 0$ ，圆N上任意一点P到定点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ 的距离比为 $\frac{1}{2}$ ，则圆M与圆N的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、外切 D、内切

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9、若 $z i^{3} = 1 - \sqrt{5} i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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10、已知集合 $U = \{x \in N| x \leq 4\}$ ，集合 $A = \{2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| x + 1 \in A\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 4\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 4\}$

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11、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = P C = A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P C$ ， $P B$ 的中点，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为直线 $l$ ．

(1)、求证：直线 $l ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $l$ 上存在一点 $Q$ （与 $B$ 都在 $A C$ 的同侧），且直线 $P Q$ 与直线 $E F$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求平面 $P B Q$ 与平面 $A E F$ 所成的锐二面角的余弦值．

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $c - 2 a \cos A \cos B = 2 b \cos^{2} A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围．

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13、已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为．

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14、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 1$ ， $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $M$ 为平面 $A B C D$ 内一点（异于点 $A$ ），且 $A M < 1$ ，则（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C M ⊥$ 平面 $P A B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $P B$ 与 $A M$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $A M = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - B C M$ 的体积最大值为 $\frac{1}{4}$ D、当 $A M = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，以 $P$ 为球心， $P M$ 为半径的球面与四棱锥 $P - A B C D$ 各面的交线长为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} π$

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15、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的定义域都是R ，且满足 $f^{'} (2 x) + f^{'} (- 2 x) = 0$ ， $f (2 - x) - f^{'} (x) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(2,1)$ 中心对称 B、 $f^{'} (x)$ 为周期函数 C、 $\sum_{i = 1}^{8095} f (\frac{i}{2024}) = \frac{8095}{2}$ D、 $y = f^{'} (2 - x)$ 是偶函数

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16、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ， $f (0)=2008$ ，且对任意 $x \in R$ ，满足 $f (x + 2) - f (x) \geq 3 \times 2^{x}$ ， $f (x + 6) - f (x) \leq 63 \times 2^{x}$ ，则 $f (2008)=$

A、 $2^{2005} + 2004$ B、 $2^{2007} + 2006$ C、 $2^{2009} + 2008$ D、 $2^{2008} + 2007$

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17、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + x f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ， $f (1) = 0$ （若 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f (x) = ln x + c$ ， c为常数），则下列说法错误的是（）

A、 $f (1) < f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{3})$ B、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 取得极小值，极小值为 $\frac{1}{2 e}$ C、 $f (x)$ 只有一个零点 D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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18、设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面， $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线，则下列条件中可以推出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n ⊥ β$ B、 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $α \cap β = n$ C、 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ D、 $m ∥ n$ ， $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$

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19、已知集合 $A = \{- 1, 2\}, B = {x | m x - 1 = 0, m \in R}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则所有符合条件的实数 $m$ 组成的集合是（）

A、 $\{- \frac{1}{2}, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, \frac{1}{2}\}$

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20、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 10, a_{1} a_{5} = 9, a_{1} < a_{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 3 n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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