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相关试卷

1、已知 $tan θ = 2$ ，则 $\frac{sin θ + sin θ cos 2 θ}{cos θ}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2、双曲线的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ 或 $2 \sqrt{5}$

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3、溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为 $pH = - lg [H^{+}]$ ，其中 $[H^{+}]$ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（）

A、已知纯净水的 $pH = 7$ ，则纯净水中 $[H^{+}] = 10^{7}$ 摩尔/升 B、已知胃酸中 $[H^{+}] = 2.5 \times 10^{- 2}$ 摩尔/升，则胃酸的 $pH \geq 2$ C、溶液中 $[H^{+}] > 10^{- 7}$ 摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D、溶液中 $[H^{+}] < 10^{- 7}$ 摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大

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4、圆锥的表面积为 $π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、在复平面内，复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、实轴 B、虚轴 C、第二象限 D、第四象限

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6、已知 $M = {x ∣ 4 x^{2} - 4 x - 15 > 0}$ ， $N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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7、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ，点 $D$ 是平面 $A B C$ 上的动点，则 $A_{1} D + \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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8、已知曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与点 $P (\sqrt{5}, 0)$ ， O为原点，动点 $Q \in E$ ，且 $∠ O P Q$ 的最大值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、已知有 $n + 1$ 个点 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n}$ 按逆时针顺序依次在E上，且 $A_{0} (2, 0)$ ， $A_{n} (- 2, 0)$ ．
（ⅰ）当 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 关于y轴对称，且 $△ O A_{1} A_{3}$ 的面积为1时，求直线 $A_{2} A_{3}$ 的斜率；
（ⅱ）当 $△ O A_{k - 1} A_{k} (1 \leq k \leq n)$ 的面积都相等时，记多边形 $A_{0} A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ 的周长为 $C_{n}$ ．若对于 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $C_{n} < λ$ ，求整数 $λ$ 的最小值．

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9、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{sin (A + C)}{sin (A - C)} = \frac{a^{2} + c^{2} + a c}{a^{2} - c^{2}}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $c = 1$ ，点D在AC上，直线BD上一点P满足 $\vec{C B} \cdot \vec{C P} = \vec{C D} \cdot \vec{C P}$ ，在点C和点D的变化过程中，
（ⅰ）求 $P A^{2} + P C^{2}$ 的最小值；
（ⅱ）当 $P A^{2} + P C^{2}$ 最小时，求 $\vec{B A} \cdot \vec{B D}$ 的值．

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10、在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为 $+ 1$ 个单位，向“负方向姿态修正一次”记为 $- 1$ 个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.

(1)、求6次姿态修正后达到 $+ 2$ 个单位的概率；

(2)、以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到 $+ 2$ 个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到 $- 2$ 个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求 $E (X)$ ．

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11、已知函数 $f (x) = ln x + a x + \frac{b}{x}$ ， $b \in (0, 1)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，求b的值；

(2)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围．

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12、如图所示，三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C ⊥ B D$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $B C = \sqrt{2}$ ， $B D = A D = 1$ ， E，F分别为 $A B$ 和 $C D$ 的中点．

(1)、证明： $B D$ 上存在点P，使得 $A D //$ 平面 $P E F$ ；

(2)、当 $〈\vec{D A}, \vec{B C}〉 = \frac{π}{4}$ 时，求二面角 $B - A C - D$ 的正弦值．

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13、已知圆 $O_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2}$ ，则圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 的公切线最多有条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是．

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14、若i为虚数单位，则 $i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \dots + 10 i^{10} =$ ．

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15、 $card (A)$ 表示有限集合A中元素的个数，已知 $card (A \cup B) = 25$ ， $card (A) = 22$ ， $card (B) = 20$ ，则 $card (A \cap B) =$ ．

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x (a > 0)$ 的极大值点和极小值点分别记为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，过点 $M (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $N (x_{2}, f (x_{2}))$ 分别作x轴的平行线交 $f (x)$ 的图象于点C，A，过点M，N构造矩形 $A B C D$ ，如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{2} - x_{1} = 2 a$ B、点M为线段CD的三等分点 C、当 $a = 1$ 时，四边形ABCD为正方形 D、当 $a = 1$ 时，四边形 $A M C N$ 为菱形

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17、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{9}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{9}$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，中位数为M，现对这组数据做如下变换： $y_{i} = x_{i} + i (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，得到一组新数据 $y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{9}$ ，则下列说法正确的是（）

A、新数据的极差等于原数据的极差 B、新数据的平均数等于 $\bar{x} + 5$ C、新数据的方差大于原数据的方差 D、新数据的中位数等于 $M + 5$

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18、已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，则（）

A、 $\frac{1}{|Q A|} + \frac{1}{|Q B|} = 1$ B、 $\frac{1}{| Q A |^{2}} + \frac{1}{| Q B |^{2}} = 1$ C、 $\frac{1}{|Q A|} + \frac{1}{|Q B|} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{| Q A |^{2}} + \frac{1}{| Q B |^{2}} = \frac{1}{4}$

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19、已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为 $16 π$ ，若圆台内接于球 $O$ ，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{21}$

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20、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{1} = 15$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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