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相关试卷

1、设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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3、知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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5、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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6、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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7、如图，直线 $l : y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，若 $| B C | = 2 | A B |$ ， $| A C | = 6$ ，则（）

A、 $m = 1$ B、 $ω = π$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 向右平移1个单位后关于原点对称

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8、设事件 $A, B$ 为两个随机事件， $P (A) \neq 0, P (B) \neq 0$ ，且 $P (\bar{A} | B) = P (B | A)$ ，则（）

A、 $P (B | \bar{A}) = P (\bar{B} | A)$ B、 $P (\bar{B} | A) = P (A | B)$ C、 $P (B | \bar{A}) = P (A | B)$ D、 $P (\bar{A} | B) = P (\bar{B} | \bar{A})$

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9、如图，在平行六面体 $A C_{1}$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，过 $B_{1}, D_{1}, E$ 三点的截面 $D_{1} B_{1} E F$ 把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（）.

A、 $3 : 4$ B、 $5 : 7$ C、 $4 : 7$ D、 $7 : 17$

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10、一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（）

A、 $\frac{C_{3}^{2} C_{7}^{1}}{C_{10}^{3}}$ B、 $\frac{C_{3}^{1} C_{7}^{2}}{C_{10}^{3}}$ C、 $\frac{C_{3}^{1} C_{10}^{2}}{C_{10}^{3}}$ D、 $\frac{C_{3}^{2} C_{10}^{1}}{C_{10}^{3}}$

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11、在复平面内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 1 + 3 i$ ，向量 $\vec{A C}$ 对应的复数为 $- 2 + i$ ，则向量 $\vec{B C}$ 对应的复数为（）

A、 $- 3 - 4 i$ B、 $- 3 + 4 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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12、把满足任意 $x, y \in R$ 总有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ 的函数称为和弦型函数.

(1)、已知 $f (x)$ 为和弦型函数且 $f (1) = \frac{5}{4}$ ，求 $f (0), f (2)$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，定义数列： $a_{n} = 2 f (n + 1) - f (n) (n \in N_{+})$ ，求 ${log}_{2} \frac{a_{1}}{3} + {log}_{2} \frac{a_{2}}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {log}_{2} \frac{a_{2024}}{3}$ 的值；

(3)、若 $g (x)$ 为和弦型函数且对任意非零实数 $t$ ，总有 $g (t) > 1$ ．设有理数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，判断 $g (x_{2})$ 与 $g (x_{1})$ 的大小关系，并给出证明．

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13、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 0$ ， $S_{12} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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14、已知 $△ A B C$ ， $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，第三个顶点C在曲线 $y = 3 x^{2} - 1$ 上移动，则 $△ A B C$ 的重心的轨迹方程是．

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15、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{2 n - 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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16、若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 5 m = 0$ 表示的曲线为圆，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{4} = 40$ ， $a_{3} - a_{5} = 30$ ，则（）

A、公比为 $\frac{1}{4}$ B、 $a_{2023} = 16 a_{2025}$ C、当 $n \geq 6$ 时， $a_{n} < \frac{1}{2}$ D、 $\{a_{n}\}$ 的前10项积为1

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，若 $S_{5} = 5$ ， $S_{15} = 105$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、550 B、520 C、450 D、425

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19、已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ， $B (- 1, 3)$ ，且圆心在直线 $y = x + 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $D$ 在圆上运动，点 $E (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $D$ ， $E$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $D E$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|E M| \cdot |E N|$ 恒为定值.

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20、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，点E在棱AB上移动．

(1)、求证： $D_{1} B ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、当点E为棱AB的中点时，求点B₁到平面ECD₁的距离；

(3)、当AE为何值时，平面D₁EC与平面AECD所成角为 $\frac{π}{4}$ ？

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