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相关试卷

1、在研究某类杨树的树高与胸径（树的主干在地面以上 $1.3 m$ 处的直径）之间的关系时，某研究员收集的一些数据如表1所示.

(1)、由表1数据，求胸径 $d$ 与树高 $h$ 的平均值；（胸径 $d$ 精确到 $0.1 cm$ ，树高 $h$ 精确到 $0.1 m$ ）

(2)、根据这些数据，可建立该类杨树树高 $\hat{h}$ （单位： $m$ ）关于胸径 $d$ （单位： $cm$ ）的一元线性回归模型为 $\hat{h} = 0.25 d + \hat{a}$ ，用（1）中结果求 $\hat{a}$ 的值并估计胸径为 $30 cm$ 的该类杨树的树高；（精确到 $0.1 m$ ）

(3)、若这12棵杨树树龄相同，分别种植于南坡和北坡，且成材情况如表2所示，根据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联？
编号
1
2
3
4
5
6
胸径 $/ cm$
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
树高 $/ m$
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
编号
7
8
9
10
11
12
胸径 $/ cm$
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
树高 $/ m$
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7
表1
种植位置
成材情况
合计
成材
未成材
南坡
5
1
6
北坡
2
4
6
合计
7
5
12
表2
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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2、小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有 $n (2 \leq n \leq 5$ 且 $n \neq 4)$ 只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是 $\frac{11}{15}$ .现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用 $X$ 表示取出的2只信鸽的分数之和，则 $X$ 的数学期望为.

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3、某校安排4位老师在期末考试的3天值班，要求每人需要值班1天或2天，且每天有两人值班，则不同的值班方案有种.

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4、某班女生的身高 $X$ （单位：cm）近似服从正态分布 $N (163, 4)$ ，从中随机选取一人，则 $P (163 \leq X \leq 165) \approx$ .（精确到0.0001，参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

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5、已知函数 $f (x) = x - ln x + a (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $a \leq - e$ B、若 $g (x) = f (x) - f (2 - x)$ ，则 $g (x)$ 无最值 C、当 $a = 1$ 时，方程 $f (x) = 3 ln x + \frac{3}{x}$ 有唯一实根 D、若存在 $x_{0} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) \leq (1 - a) x_{0} + 2$ ，则 $a \leq 1$

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6、在 $A, B, C$ 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有 $6 %, 5 %, 4 %$ 的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为 $5 : 7 : 8$ ，现从这三个地区中任意选取一个人，下列结论正确的是（）

A、若此人选自 $B$ 地区，则其患流感的概率为0.05 B、此人患流感的概率为0.0485 C、若此人患流感，则其选自 $A$ 地区的概率为 $\frac{30}{97}$ D、若此人患流感，则其选自 $C$ 地区的概率为 $\frac{34}{97}$

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7、已知 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{2} = 240$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 0$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 364$

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8、已知数列： $1, 2, 3, \dots, 2025$ ，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（）

A、 $3 C_{2025}^{4}$ B、 $3 C_{2026}^{4}$ C、 $6 C_{2025}^{4}$ D、 $6 C_{2026}^{4}$

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9、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2$ 的图象在点 $(\sqrt{3}, f (\sqrt{3}))$ 处的切线的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的方程为（）

A、 $2 x + 2 y - 5 = 0$ B、 $2 x - 2 y - 5 = 0$ C、 $2 x - 2 y + 1 = 0$ D、 $2 x + 2 y + 1 = 0$

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10、已知 $X \sim B (5, 0.6)$ ，若 $Y = 2 X + 1$ ，则 $E (Y) + D (Y) =$ （）

A、-1 B、-2 C、11.8 D、2

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11、如图，要让电路从 $A$ 处到 $B$ 处只有一条支路接通，则不同的路径有（）

A、5种 B、6种 C、7种 D、9种

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12、某班级有 $42$ 名学生，其中男生､女生的人数及是否喜爱篮球的人数如表所示，从这 $42$ 名学生中随机选择 $1$ 人作为体育课代表，若选到的学生喜爱“篮球”，则该学生是女生的概率为（）
喜爱“篮球”
不喜爱“篮球”
合计
男生
$15$
$7$
$22$
女生
$10$
$10$
$20$
合计
$25$
$17$
$42$

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{21}$

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13、某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为 $X$ ，且 $X$ 的分布列如下表所示，则 $p =$ （）
$X$
0
1
2
$P (X)$
$7 p$
$\frac{7}{15}$
$p$

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{7}{15}$

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14、已知 $f (x) = \frac{2}{x} + 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 的值为（）

A、-1 B、-2 C、0 D、2

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15、 $A_{5}^{3} + A_{3}^{2} =$ （）

A、8 B、13 C、63 D、66

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin B - c \sin C + (c - a) \sin A = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、如图， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $a = 3$ ， $c = 4$ ，
（i）求 $B D$ 的长度；
（ii）若 $A B$ 边上的中线 $C E$ 与 $B D$ 相交于点F，求 $∠ D F E$ 的余弦值．

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17、某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.

(1)、求甲第二次答题通过初赛的概率；

(2)、求乙通过初赛的概率；

(3)、求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.

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18、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、若三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A A_{1}$ ．

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19、在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为．
（参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m， $\bar{x}$ ， $s_{1}^{2}$ ；n， $\bar{y}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数和样本方差为 $\bar{ω}$ ， $s^{2}$ ，其中 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}])$ ．

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20、某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为．

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编号	1	2	3	4	5	6
胸径 $/ cm$	18.1	20.1	22.2	24.4	26.0	28.3
树高 $/ m$	18.8	19.2	21.0	21.0	22.1	22.1
编号	7	8	9	10	11	12
胸径 $/ cm$	29.6	32.4	33.7	35.7	38.3	40.2
树高 $/ m$	22.4	22.6	23.0	24.3	23.9	24.7

种植位置	成材情况		合计
种植位置	成材	未成材	合计
南坡	5	1	6
北坡	2	4	6
合计	7	5	12

	喜爱“篮球”	不喜爱“篮球”	合计
男生	$15$	$7$	$22$
女生	$10$	$10$	$20$
合计	$25$	$17$	$42$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828

$X$	0	1	2
$P (X)$	$7 p$	$\frac{7}{15}$	$p$