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相关试卷

1、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为 $B C$ 的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）

A、直线 $A P$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时，截面S的形状为等腰梯形 C、当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时，S与 $C_{1} D_{1}$ 交于点R，则 $C_{1} R = \frac{1}{4}$ D、当 $\frac{1}{2} < C Q < 1$ 时，直线 $P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角正弦值的取值范围是 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{1}{2})$

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2、已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ， $|z| = \sqrt{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 + 4 i|$ 的最大值为6

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3、抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $N$ 表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件 $N$ 相互独立的是（）

A、第二次朝上的数字是奇数 B、第二次朝上的数字为2 C、两次朝上的数字之和为9 D、两次朝上的数字之和为10

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4、已知两个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $A O$ 上，且 $|M A| = 2 |M O|$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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6、若复数 $z = (m + 1) + (2 - m) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|\frac{6 + 3 i}{z}| =$

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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7、已知四面体 $A B C D$ .

(1)、若该四面体为正四面体，球 $O$ 与其四个面都相切，证明：该四面体与球 $O$ 的体积之比等于它们的表面积之比；

(2)、设点 $G$ 是满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ，过点 $G$ 的平面 $Ω$ 分别与直线 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 交于点 $P$ ， $Q$ ， $R$ ，且 $\vec{A P} = λ_{1} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = λ_{2} \vec{A C}$ ， $\vec{A R} = λ_{3} \vec{A D}$ ，证明： $\frac{1}{λ_{1}} + \frac{1}{λ_{2}} + \frac{1}{λ_{3}} = 4$ ；

(3)、若空间内一点 $H$ 满足 $a \vec{H A} + b \vec{H B} + c \vec{H C} + d \vec{H D} = \vec{0}$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为实数，且全不为0），证明： $V_{H - B C D} : V_{H - A C D} : V_{H - A B D} : V_{H - A B C} = |a| : |b| : |c| : |d|$ .

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8、一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为 $1, 2, 3$ ，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为 $i$ ，第二次摸到的小球号码为 $j$ .

(1)、记“ $i + j > i \cdot j$ ”为事件 $A$ ，求 $P (A)$ ；

(2)、完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为 $k$ ，号码 $i, j, k$ 中出现偶数的个数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ .的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 2} + a_{n} - 2 a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ .若 $a_{11} + a_{15} + a_{19} = 12$ ，则 $S_{29} =$ .

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10、已知A，B，C是抛物线 $W : y^{2} = 28 x$ 上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为 $P (m, n)$ ，则（）

A、当 $m = 9$ 时， $|A B|$ 的最大值为32 B、当 $m = 8$ 时， $|C P| + |C F|$ 的最小值为22 C、当 $n = 5$ 时，直线AB的斜率为 $\frac{14}{5}$ D、当 $\vec{A F} // \vec{A B}$ 时，点P到直线l的距离的最小值为14

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11、已知函数 $f (x) = \frac{|2^{x - 1} - 1| + 2^{x - 1} + 1}{2}$ ，若 $f (m^{2} - m - 1) > f (- m^{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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12、六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{10}$

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13、国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从 $2000$ 年开始，每 $3$ 年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是 $40$ 至 $100$ 分，如图是 $2024$ 年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（）

A、该地学生成绩的中位数一定大于 $75$ B、该地学生成绩的平均数一定小于 $65$ C、该地学生成绩的极差介于 $40$ 至 $60$ 之间 D、该地学生成绩没有超过 $60$ 分的学生所占比例为 $30 %$

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14、平面上的三个力 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{3}$ 作用于同一点，且处于平衡状态.已知 $\vec{F_{1}} = (1, 0)$ ， $|\vec{F_{2}}| = 2$ ， $⟨\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}⟩ = 120^{\circ}$ ，则 $|\vec{F_{3}}| =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15、若 $(z - i^{2024}) i = i^{5} + i^{6}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + 1}{e^{x} - 1} (a \in R)$ 为奇函数．

(1)、求a的值；

(2)、设函数 $g (x) = \ln x + \sin x$ ，
①证明： $y = g (x)$ 有且只有一个零点；
②记函数 $y = g (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，证明： $f (2 \sin x_{0}) > \frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$ ．

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17、人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义 $A, B$ 之间的余弦距离为 $1 - cos (A, B)$ ，其中 $cos (A, B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ .

(1)、若 $A (2, - 1)$ ， $B (1, - 2)$ ，求 $A, B$ 之间的余弦距离；

(2)、已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ， $M (\sin α, \cos α)$ ， $N (\sin β, \cos β)$ ， $Q (\sin β, - \cos β)$ ，若 $\cos (M, N) = \frac{1}{2}$ ， $\cos (M, Q) = \frac{1}{3}$ ，
①求 $N, Q$ 之间的余弦距离；
②求 $\tan α \tan β$ 的值．

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18、已知椭圆 $Γ$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，椭圆 $Γ$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）.

(1)、若椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，左顶点为 $A$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列， $a_{1}, a_{2}, a_{3} - 12$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{\log_{3} a_{n}}{a_{n}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A M C$ ；

(2)、求二面角 $M - A C - D$ 的余弦值．

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