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相关试卷

1、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $P D$ 所成角的余弦值.

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2、直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x - 4 y + C = 0$ 间的距离为3，则 $C =$ .

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3、点 $P (3, 1)$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离为.

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4、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F$ 分别是棱 $A B 、 B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ ，当 $A_{1}$ 、 $E 、 F 、 C_{1}$ 共面时，直线 $C_{1} F$ 和平面 $A_{1} D E$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{30}$

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5、人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）．

A、 $x^{2} + y^{2} = 144$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 144$ C、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 169$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 169$

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6、直线 $l : x + 2 y + 4 = 0$ 被圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ 截得的弦长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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7、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {cos}^{2} x + m$ 的最小值为 $- 1$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(3)、若 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \frac{11}{5}, x_{0} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，求 $cos (2 x_{0} + \frac{π}{6})$ 的值.

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8、已知集合 $A = \{x| - 1 < x < 1\}, B = \{x| x (x - 2) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x| - 1 < x < 0\}$ B、 $\{x| 0 < x < 1\}$ C、 $\{x| 1 < x < 2\}$ D、 $\{x| - 1 < x < 2\}$

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9、在数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 2 a_{1} = 2$ ， $b_{3} + b_{4} = 24$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n} + \frac{1}{n^{2} + n}$ 且 $\{b_{n}\}$ 为正项等比数列．

(1)、求 $b_{n}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < 2^{n + 1} - 2$ ．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{4}{3}$ ， $9 a_{n + 1} = 6 a_{n} - a_{n - 1} (n \geq 2)$ ， $a_{n} = \frac{b_{n}}{3^{n - 1}} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ，并证明： $S_{n} \geq 1$ .

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11、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2, 6 S_{n} = (a_{n} + 2) (a_{n} + 1)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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12、某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$

(1)、试估计这1000名用户评分的平均分；

(2)、若采用分层随机抽样的方法从评分在 $[40, 50), [50, 60)$ 内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在 $[40, 50)$ 内的概率.

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13、正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 3$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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14、数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{10}} =$ ．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n}} = 1, n \in N^{*}$ ，则（　　）

A、 $a_{2022} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2022} = 1011$ C、 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{2022} = - 1$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \dots + a_{2022} a_{2023} = - 1011$

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16、如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $S_{7} = 84$

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17、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $T_{n}$ 为等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项积，且 $a_{4} = b_{4} = 2$ ，则（）

A、 $a_{3} a_{5} = b_{3} + b_{5}$ B、 $a_{3} + a_{5} = b_{3} b_{5}$ C、 $S_{7} = 14$ D、 $T_{7} = 128$

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18、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不等于1的等比数列，且 $\lg a_{1} + \lg a_{2023} = 0$ ，若 $f (x) = \frac{2}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{2023})$ 等于（）

A、2022 B、4036 C、2023 D、4038

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19、将函数 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{7 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{4}$

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20、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{11} = 121$ ，则 $a_{5} a_{7}$ 的最大值为（）

A、11 B、12 C、121 D、144

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