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相关试卷

1、已知 $α, β \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，且 $α sin α - β sin β < 0$ ，则（）

A、 $α < β$ B、 $α^{2} < β^{2}$ C、 $α > β$ D、 $α^{2} > β^{2}$

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2、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $d$ 为其公差，且 $S_{8} > S_{7} > S_{9}$ ，给出以下命题：① $d < 0$ ；② $|a_{8}| > |a_{9}|$ ；③使得 $S_{n}$ 取得最大值时的n为8；④满足 $S_{n} > 0$ 成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（）

A、①③ B、①③④ C、①②③ D、①②④

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3、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， M，N是 $C$ 上的两点，满足 $\vec{F_{2} N} = 3 \vec{F_{1} M}$ ，且 $F_{2} N = F_{2} M$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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4、函数 $y = x^{2} cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) - x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y^{'} = x^{2} cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 x sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) + 2 x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$

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5、已知椭圆 $E$ 的焦距为8，且椭圆 $E$ 上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 $E$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，其中 $a_{6} , a_{10} $ 为方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $a_{8} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7、已知三个向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (x, 2, 5)$ 共面，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是.

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9、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{C B} - \vec{A C} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2} {\vec{B C}}^{2}$ ，则 $\tan (B - C)$ 的最大值为.

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10、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过左焦点 $F$ 作直线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{c^{2}}{4}$ 相切于点 $E$ ，与椭圆 $C$ 在第一象限的交点为 $P$ ，且 $|P E| = 3 |E F|$ ，则椭圆离心率为.

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11、已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 4 - 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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12、在 $Δ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{B P} = 3 \overset{⇀}{P C}$ ，过点 $P$ 的直线与 $A B$ 、 $A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ 、 $N$ ，若 $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = μ \overset{⇀}{A C} (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, b_{1} = 6, a_{n + 1} = 2 a_{n}, b_{n + 1} = 2 b_{n} - a_{n}$ ，若 $a_{m} = b_{m}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、如图，已知等腰 $△ A B C$ 中， $|A B| = |A C| = 3, |B C| = 4$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上的动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的值（）

A、为定值 $6$ B、不为定值，有最大值 $6$ C、为定值 $10$ D、不为定值，有最小值 $10$

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15、如图，边长为 $a$ 的正 $△ A B C$ 的中线 $A F$ 与中位线 $D E$ 相交于 $G$ ，已知 $△ A^{'} E D$ 是 $△ A E D$ 绕 $D E$ 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有（只需填上正确命题的序号）．
①动点 $A^{'}$ 在平面 $A B C$ 上的射影在线段 $A F$ 上；
②三棱锥 $A^{'} - F E D$ 的体积有最大值；
③恒有平面 $A^{'} G F ⊥$ 平面 $B C E D$ ；
④异面直线 $A^{'} E$ 与 $B D$ 不可能互相垂直；
⑤异面直线 $F E$ 与 $A^{'} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{2}]$ ．

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16、唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B (- 2, 0)$ ，若将军从山脚下的点 $A (3, 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 5$ ，则“将军饮马”的最短总路程为.

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 2, 3)$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $x =$ ．

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18、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 81$ 和 $C_{2} : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若动圆 $P$ 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为 $M$ ，则 $M$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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19、已知 $M$ 为直线 $l : 2 x + 3 y + 1 = 0$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\vec{M P} = (2, - 4)$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $3 x - 2 y + 9 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 9 = 0$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{49}{13}$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{49}{13}$

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20、设 $m$ 、 $n$ 为两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 为两个不同的平面，给出下列命题：
① 若 $m //$ $α$ ， $m //$ $β$ ，则 $α //$ $β$ ；
② 若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α //$ $β$ ；
③ 若 $m //$ $α$ ， $n //$ $α$ ，则 $m //$ $n$ ；
④ 若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m //$ $n$ ；
上述命题中，所有真命题的序号是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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