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相关试卷

1、若命题“ $\forall x \in R, x^{2} - x + m \geq 0$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ .若 $△ A B C$ 内部有一个圆心为 $P$ ，半径为 $\sqrt{3}$ 米的圆，它沿着 $△ A B C$ 的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.

(1)、若 $△ A B C$ 为边长是16米的等边三角形，求圆心 $P$ 经过的路程；

(2)、若用28米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种 $△ A B C$ 的围成方案，使得圆心 $P$ 经过的路程最大并求出该最大值（若 $a, b, c$ 为正数，则 $a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}$ ，当且仅当 $a = b = c$ 时取等号）.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2 A B = 2$ ， E为线段 $P B$ 上一点，且 $A E ⊥ P B$ ．

(1)、求证∶ $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(2)、试问∶在线段 $B C$ 上是否存在点F，使得直线 $A F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出平面 $P A B$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值；若不存在，请说明理由．

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4、已知函数 $f (x) = k (e - 1) - e^{k x}$ 与函数 $g (x) = \frac{(1 - e) ln x - 1}{x}$ 的图象有且仅有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围为.

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5、 ${(2 x + y - \frac{1}{2})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2} y^{2}$ 的系数为.（用数值作答）

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6、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a = b \cos A$ ， $\tan C = \frac{1 - \sin A}{\cos A}$ .则下列判断正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{2} + C$ B、 $C < \frac{π}{6}$ C、 $a < c$ D、 $c > \frac{2}{5} b$

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $x f^{'} (x) - f (x) = (x - 1) e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数），且 $f (1) = 0$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $3 f (2) < 2 f (3)$ B、 $f (1) < f (2) < f (e)$ C、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 D、 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极大值

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8、 $△ A B C$ 中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $S_{△ A B C} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ 且 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、顶角为 $120 °$ 的等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} - \cos x$ ，则 $f (\frac{\ln 2}{2})$ ， $f (- \frac{\ln 3}{3})$ ， $f (- \frac{\ln 5}{5})$ 的大小关系为（）

A、 $f (- \frac{\ln 5}{5}) < f (- \frac{\ln 3}{3}) < f (\frac{\ln 2}{2})$ B、 $f (\frac{\ln 2}{2}) < f (- \frac{\ln 5}{5}) < f (- \frac{\ln 3}{3})$ C、 $f (- \frac{\ln 5}{5}) < f (\frac{\ln 2}{2}) < f (- \frac{\ln 3}{3})$ D、 $f (- \frac{\ln 3}{3}) < f (- \frac{\ln 5}{5}) < f (\frac{\ln 2}{2})$

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10、“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $x$ 轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　）

A、 $y = |x| \sqrt{4 - x^{2}} (y > 0)$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}} (y > 0)$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 |x|} (y > 0)$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x} (y > 0)$

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} = (\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{a}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{a}$

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12、已知函数 $f (x) = cos x$ 在闭区间 $I$ 上的最大值记为 $M_{I}$ ，若实数 $k$ 满足 $M_{[- \frac{π}{2}, k]} = 2 M_{[k, 2 k]}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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13、设命题 $p : \exists x \in Z, |x| \in N^{*}$ ．则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \notin Z, |x| \in N^{*}$ B、 $\forall x \notin Z, |x| \in N^{*}$ C、 $\exists x \in Z, |x| \notin N^{*}$ D、 $\forall x \in Z, |x| \notin N^{*}$

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14、某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为 $t$ ，规则如下：
①当 $0 < t \leq 3$ 的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值 $E$ （单位：EXP）与
游玩时间 $t$ （单位：小时）满足关系式： $E = t^{2} + 20 t + 20 a (t > 0)$ ；
②当 $3 < t \leq 5$ 的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；
③当 $t > 5$ 的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.

(1)、写出 $E$ 与 $t$ 的函数关系式 $E = f (t)$ ，并求出当 $a = 2$ ， $t = 6$ 时的 $E$ 值；

(2)、该游戏厂商把 $E$ 与 $t$ 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为 $H (t)$ ，直接写出函数 $H (t)$ 的解析式；

(3)、在(2)的条件下，若 $a = \frac{5}{16}$ ，当 $t \leq 5$ 时，求 $H (t)$ 的最小值.

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15、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a \cdot 3^{x}}{3^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性并说明理由；

(2)、已知 $f (m - 1) + f (m - 3) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 5 m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，函数 $g (x) = 2^{x} - k$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、记集合 $A = \{y ∣ y = f (x), x \in [1, 2]\}$ ，集合 $B = \{y ∣ y = g (x), x \in [1, 2]\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{ln x}$ ，则 $f (x + 1)$ 的定义域为．

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18、已知 $10^{2 a} = 5$ ， $10^{b} = 2$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $2 a + b = 1$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b < - 3$ D、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} > 9$

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19、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ，则函数 $f (x) = b x - a$ 与 $g (x) = b \cdot a^{x}$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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20、设集合 $A = \{x |0 < x \leq 4\}$ ， $B = \{y |0 < y \leq 1\}$ ，则从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = x^{- 1}$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ D、 $f (x) = \frac{1}{5} x$

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