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相关试卷

1、函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{|x| - 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2、“ $a > 0$ ”是“关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x - 1}{x - 2} < 0$ 的解集为 $\{x | \frac{1}{a} < x < 2\}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、设 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 0.3}$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = \log_{0.3} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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4、在 $△ A B C$ 中，下列关系一定成立的是（）

A、 $\cos (A + B) = \cos C$ B、 $\sin (A + B) = \sin C$ C、 $\sin \frac{A + B}{2} = \sin \frac{C}{2}$ D、 $\cos \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}$

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5、已知扇形的弧长为2，面积为4，则扇形的圆心角是（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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6、下列函数与 $f (x) = x$ 是同一函数的为（）

A、 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $g (t) = t$ D、 $g (x) = e^{\ln x}$

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7、已知 $1 \in \{- 1, 0, a^{2}\}$ ，则 $a =$ （）

A、0或1 B、 $- 1$ 或1 C、 $- 1$ D、1

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8、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = a x$ 经过点 $P (\frac{1}{4}, 1)$ ，且 $F$ 为 $C$ 的焦点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程.

(2)、设 $A$ ， $B$ 为 $C$ 上两个不同的点，且 $O, A, B$ 三点不共线，直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 1$ .
（i）试问直线 $A B$ 是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
（ii）若直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点位于 $O, F$ 之间，设 $F, O$ 两点到直线 $A B$ 的距离之和为 $d_{1}$ ， $A, B$ 两点到直线 $O F$ 的距离之和为 $d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的取值范围.

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B D = \frac{2}{3} B B_{1}$ ， $A E = \frac{3}{4} A C$ .

(1)、求证： $A_{1} D ⊥ B_{1} E$ .

(2)、求直线 $B_{1} E$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值.

(3)、在棱 $B C$ 上是否存在点 $F$ ，使得平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 夹角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{21}}{28}$ ?若存在，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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10、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(\frac{1}{a c} - \frac{1}{2 b c}) (b^{2} + a^{2} - c^{2}) = cos A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，求 $\frac{2 sin \frac{C}{2} sin \frac{A - B}{2}}{sin B}$ 的取值范围.

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11、已知点 $M (4, - 1)$ ，点 $N$ 在圆 $A$ ： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 上运动，线段 $M N$ 的中点 $B$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过圆心 $A$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{8} - 2 a_{1} = 6$ ， $S_{5} = 15$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{(3^{a_{n}} - 1) (3^{a_{n + 1}} - 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $B C$ ， $P A$ 的中点， $G$ 是线段 $P D$ 上的一点， $P A = A D = 2$ .若异面直线 $C F$ 与 $E G$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{41}}{41}$ ，则三棱锥 $P - E F G$ 的体积为.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - \frac{1}{2} a_{n} = \frac{3}{2 n} a_{n}$ ，则 $a_{5} =$ .

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15、已知有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，4个白球，这些球除颜色外，形状大小都相同.现从甲、乙两个盒子中各摸取一球，则摸取的两个球恰好一红一白的概率为.

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16、设公比 $q > 1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ， $a_{1} a_{6} = 3$ ，则（）

A、 $q = 3$ B、 $\frac{S_{4}}{S_{3}} = \frac{40}{13}$ C、 $a_{9} + a_{10} + a_{11} + a_{12} = 360$ D、若 $a_{m} a_{n} = 1$ ，则 $m + n = 6$

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17、已知 $A (- 2, 3, 1)$ ， $B (0, - 1, 4)$ ， $C (1, 3, - 5)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 5 \sqrt{2}$ B、与 $\vec{B C}$ 平行的一个单位向量是 $(\frac{\sqrt{2}}{14}, \frac{2 \sqrt{2}}{7}, - \frac{9 \sqrt{2}}{14})$ C、 $\vec{A B} ⊥ (3 \vec{A B} - 2 \vec{B C})$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(8, 7, 4)$

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18、双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，设 $P (\frac{3}{2}, 1)$ ，过 $F$ 且斜率存在的一条直线与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点.记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率依次为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} \in (0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $k_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2)$ B、 $(- 3 - \sqrt{3}, - 3)$ C、 $(- 4 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 4)$ D、 $(- 5 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 5)$

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19、如图，正四面体 $P - A B C$ 的棱长为4， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ， $O$ 为垂足， $\vec{P D} = \frac{1}{4} \vec{P O}$ ，延长 $C O$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\vec{C E} \cdot (\vec{A D} + \vec{P C}) =$ （）

A、12 B、 $- 12$ C、16 D、 $- 16$

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20、 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ .记 $m (x)$ 的最大值为 $m {(x)}_{max}$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如： $[2.1] = 2$ ， $[- 0.1] = - 1$ ，若 $f (x) = 2 - |x|$ ， $g (x) = 2^{x}$ ，则 $[m {(x)}_{max}] =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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