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相关试卷

1、“ $\frac{x - 1}{x + 1} \leq 1$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2、已知函数 $f (x) = ln \frac{x}{2 - x} + a x + b {(x - 1)}^{3}$

(1)、若 $b = 0$ ，且 $f^{'} (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(1, a)$ 中心对称；

(3)、若 $f (x) > - 2$ 当且仅当 $1 < x < 2$ ，求 $b$ 的取值范围.

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3、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 4^{- x}$ 和奇函数 $g (x) = 4^{x} + b \cdot 4^{- x}$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）当 $x \in (- \frac{1}{2}, 0)$ 时，不等式 $f (2 x) - k \cdot g (x) + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）若方程 $f (x) = m \cdot 4^{x} - m$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上恰有一个实根，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、如图，平行四边形 $E F G H$ 的四个顶点分别在空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B, B C, C D, D A$ 上，求证： $B D / /$ 平面 $E F G H$ ．

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5、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长为 $2, E 、 F$ 分别为 $A D_{1}, C D_{1}$ 中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的大小．

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6、一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：
486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503
499 503 509 498 487 500 508
（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？
（2）质量位于 $\bar{x} - s$ 与 $\bar{x} + s$ 之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} + a \ln x - x^{a} - x (a > 0)$ ，当 $a = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在点 $P (1, f (1)$ 处的切线方程为；若 $f (x) \geq 0$ 对 $\forall x \in (1, + \infty)$ 恒成立，则实数a的最大值为．

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8、已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} - x + 2 a$ ，其中 $a \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点 B、若 $f (x)$ 在 $(- 1, 3)$ 上存在两个极值点，则 $a$ 的取值范围是 $(\frac{7}{27}, + \infty)$ C、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 至少有一个零点 D、存在实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上有最大值

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 是等腰三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积可能是（）

A、 $\sqrt{35}$ B、 $\sqrt{42}$ C、7 D、 $3 \sqrt{7}$

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10、已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) + 2 f (x) = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$ ， $2 f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2 e}}$ ，若对任意正数 $a$ ， $b$ 都有 $f ({(\frac{1}{2})}^{x} - \frac{3}{2}) < \frac{1}{4 b^{2} e^{2}} + \frac{1}{64 a^{2}} + \frac{a b}{4}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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11、若函数 $f (x)$ 的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对 $[A, B]$ 称为 $y = f (x)$ 的“友情点对”，点对 $[A, B]$ 与 $[B, A]$ 看作同一个“友情点对”，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a, x \leq 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2, x > 0 \end{array}$ ，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（）

A、 $[2, \frac{31}{3}) \cup \{- \frac{1}{3}\}$ B、 $(- \frac{31}{3}, - 2] \cup \{\frac{1}{3}\}$ C、 $[2, \frac{31}{3})$ D、 $(- \frac{31}{3}, - 2]$

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12、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 4, E, F, H$ 分别是棱 $P B, B C, P D$ 的中点，则过 $E, F, H$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 所得截面面积为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $5 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}$

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13、已知 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，都有 $|y_{1} - y_{2}| < |x_{1} - x_{2}|$ 成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（）

A、 $y = 2 x + 2$ ， x取任意实数 B、 $y = \frac{1}{x}, - 1 < x < 0$ C、 $y = - x^{2} + 6 x - 8, 0 < x < 2$ D、 $y = - x^{2} + 6 x - 8, 3 < x < \frac{7}{2}$

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14、已知曲线 $C_{1} : y = \sin x$ 的图像， $C_{2} : y = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ B、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ C、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ D、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，其离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $C$ 上的点到其中一个焦点的距离的最小值为1，过右焦点的直线 $l$ 交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点（均不与点 $A$ ， $B$ 重合），直线 $M B$ 交 $x = 4$ 于点 $P$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、证明： $A$ ， $N$ ， $P$ 三点共线；

(3)、求 $△ A M N$ 面积的最大值.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是正项等比数列， $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = 12$ ， $b_{1} = a_{2} - 1$ ， $a_{9}$ 是 $a_{2}$ 和 $b_{2}^{2}$ 的等比中项.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ .和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、求 $\{\frac{a_{n} - 1}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

(3)、设 $c_{n} = \frac{b_{n} - 1}{b_{n + 1} - 1}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} > \frac{n}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{n + 1}}$ .

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D ⊥ B C$ ，且 $A D = 2$ ， $P D = 3$ ，点 $E$ ， $G$ 分别在 $P A$ ， $P C$ 上，且 $\vec{P E} = \frac{3}{4} \vec{P A}$ ， $\vec{P G} = \vec{G C}$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、证明： $A P / /$ 平面 $G D B$ .

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $D E G$ 夹角的正弦值.

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18、已知圆 $C$ 的圆心在 $x - y = 0$ 上，点 $A (- 3, 3)$ ， $B (- 1, 5)$ 在圆 $C$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (4, 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $|P Q| = 2 \sqrt{11}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{2} = 5$ ， $S_{4} = 24$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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20、抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在 $y$ 轴的左侧），若 $2 \vec{M F} = \vec{F N}$ ，则 $M N$ 的斜率为.

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