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相关试卷

1、已知椭圆 $C$ 经过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (- 3, 0)$ 且与椭圆 $C$ 相交于 $M (x_{1}, y_{1})$ 、 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点， $0 < y_{1} < y_{2}$ ，点 $M_{1}$ 与 $M$ 关于 $y$ 轴对称，点 $N_{1}$ 与 $N$ 关于 $x$ 轴对称，设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，直线 $M_{1} N_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ .
（i）求证： $k k_{1}$ 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 $|M N| = |M_{1} N_{1}|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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2、设函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在定义域内恰有2个零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、记点 $O (0, 0)$ ，当 $t > 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (t, f (t))$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，求三角形 $A O B$ 面积 $S (t)$ 的最大值.

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3、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D$ ，直线 $P A$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $P B = 3$ ，点 $M$ 为线段 $P B$ 上的动点， $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、若直线 $A M$ 和 $D N$ 相交，求证： $M N / / B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、当三棱锥 $A - B M D$ 的体积最大值时，求此时三棱锥 $A - B M D$ 外接球的体积.

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4、某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下 $2 \times 2$ 列联表：
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.

(1)、请完成上面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（计算结果精确到小数点后三位）

(2)、将频率视为概率，从学校不经常锻炼的学生中抽取4人，设抽取的4人中男生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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5、已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (0) + f (2025)$ 的取值范围为．

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6、抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若 $F M ⊥ F N$ ，且 $|M F| = 10$ ，则 $|N F| =$ .

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的图象如图所示，则 $x_{1} \cdot x_{2} =$ .

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8、已知函数 $f (x) = \frac{\sin 2 x}{1 + 2 \cos^{2} x}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x + π) = f (x)$ B、 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, a)$ 上恰有 $2022$ 个极大值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{6064}{3} π, \frac{6067}{3} π]$

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9、下列选项中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、 ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为10. C、用 $χ^{2}$ 独立性检验进行检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系. D、样本相关系数 $|r|$ 越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.

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10、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11、已知 $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示，则实数 $x, y$ 满足的关系式可以为（）

A、 $|x - 1| - \log_{3} \frac{1}{y} = 0$ B、 $2^{x} - 1 = \frac{x^{3}}{y}$ C、 $2^{|x - 1|} - y = 0$ D、 $\ln |x| = y - 1$

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12、以模型 $y = c e^{k x} (c > 0)$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，将其变换后得到经验回归方程 $z = 2 x - 1$ ，则 $k, c$ 的值分别是（）

A、 $- 2, e$ B、 $2, \frac{1}{e}$ C、 $- 2, \frac{1}{e}$ D、 $2, e$

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13、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {y ∣ y = - x + 1, x < 0}$ ，则（）

A、 $- 2 \in A \cup B$ B、 ${- 2, - 1} \subseteq A \cup B$ C、 ${1} \subseteq A \cap B$ D、 $2 \in A \cap B$

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14、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、 $- i$ C、1 D、i

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15、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，两渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、当 $a < b$ 时，记双曲线 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，动直线 $l$ ： $x = m y + 2$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $M$ ， $N$ 两点（异于 $A_{2}$ ），直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 相交于点 $T$ ，证明：点 $T$ 在定直线上，并求出定直线方程．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且对任意的 $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} + 3$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，并求出其的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $c_{n} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{13}{3} n - 2$ ，求 $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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17、 ${(1 + x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 展开式中的常数项为。

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18、已知曲线 $C : y^{2} + sin x = 5$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $y$ 的范围是 $[- \sqrt{6}, \sqrt{6}]$ B、若 $y > 0$ ，则曲线 $C$ 具有周期性 C、曲线 $C$ 既是轴对称图形又是中心对称图形 D、曲线 $C$ 与圆 $D : x^{2} + y^{2} = 5$ 有公共点

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19、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，满足 $x^{2} f^{'} (x) + 2 x f (x) = 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (e)}{e^{2}} > \frac{f (e^{2})}{e}$ B、 $\frac{f (2)}{9} > \frac{f (3)}{4}$ C、 $\frac{f (2)}{e^{2}} < \frac{f (e)}{4}$ D、 $\frac{f (e)}{e^{2}} < \frac{f (3)}{9}$

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20、已知抛物线C： $y^{2} = 16 x$ 的焦点为F，过点 $A (7, 1)$ 作直线l； $x + a y - 2 y - 7 a + 4 = 0$ 的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则 $|P F| + |P B|$ 的最小值为（）

A、 $14 - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、14 D、 $\frac{25 - 3 \sqrt{5}}{2}$

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性别	不经常锻炼	经常锻炼	合计
男生	7
女生		16	30
合计	21

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635