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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $\frac{1}{15} \leq T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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2、下列说法正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(1, 2, 2)$ B、直线 $(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 3, - 3)$ C、直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 的方向向量可以是 $\vec{n} = (4, - 3)$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R)$ ，其中P为平面 $A B C$ 上的一点， $O$ 是平面 $A B C$ 外一点，则有 $x + y = \frac{2}{3}$

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为6，离心率 $\sqrt{3}$ ．过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $30 °$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{5}$

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4、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M D_{1}}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ （D和A重复了）

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5、现定义一种新运算“ $\oplus$ ”：对于任意实数 $x, y$ ，都有 $x \oplus y = {log}_{a} (a^{x} + a^{y}) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，计算 $3 \oplus 3$ ；

(2)、证明： $\forall x, y, z \in R$ 都有 $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z);$

(3)、设 $f (x) = x \oplus (x - 1)$ ，若不等式 $f (x) \geq 2$ 对任意 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注： $年平均盈利额 = \frac{总盈利额}{年数}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{5 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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8、已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{2^{x} - b}{2^{x} + a}$ 是奇函数.

(1)、求a，b的值；

(2)、直接写出该函数在定义域中的单调性（不需要证明），若对于任意 $x \in (- 1, 1)$ ，求使 $f (x)$ 满足不等式 $f (1 - m) + f (1 - m^{2}) < 0$ 的实数m的取值范围.

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9、平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 1, 2)$

(1)、求sinα和tanα的值

(2)、若 $f (α) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + α) \tan (π + α) + 2 \cos (π - α)}{\sin α + \cos (- α)}$ ，化简并求值

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $\forall x \in R$ ，恒有 $f (x) + f (x + 2) = 0$ ，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = 1 + 2^{x}$ ，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (2024) + f (2025) =$

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11、下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = (a - 1) x^{2}$ 是幂函数，则 $a = 2$ B、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1, - 2)$ C、函数 $y = x + \frac{5}{x + 1} (x \geq 2)$ 取得最小值为 $2 \sqrt{5} - 1$ D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正根和一负根”的充要条件

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12、设 $a, b, c \in R$ ，则下列选项中正确的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a - c > b - c$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ D、若 $a > b$ ， $c > d > 0$ ，则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$

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13、若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 1] \cup [3, + \infty)$ B、 $[- 3, - 1] \cup [0, 1]$ C、 $[- 1, 0] \cup [1, + \infty)$ D、 $[- 1, 0] \cup [1, 3]$

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14、某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数 $x$ （每单位代表 $30$ 公里）与剩余电量 $f (x)$ 在某阶段（剩余电量 $\geq 20 %$ ）近似满足如下函数关系式： $f (x) = 0.95 \times {0.9}^{x} + 0.05$ ．当剩余电量为 $25%$ 时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（）
（参考数据： $lg2≈0.30$ ， $lg3≈0.48$ ， $lg19≈1.28$ ）

A、 $450$ 公里 B、 $510$ 公里 C、 $570$ 公里 D、 $600$ 公里

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15、已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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16、设 $a = lg 2$ ， $b = 2^{0.2}$ ， $c = cos 2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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17、若已知条件 $p : x \leq 1$ ，条件 $q : x^{2} - 6 x + 5 \geq 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}, B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x > - 1}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | - 1 < x < 3}$

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19、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，短轴长为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $H (m, 0)$ 且 $m \geq \sqrt{2}$ ，若椭圆 $C$ 上的点到 $H$ 的距离的最小值是 $\sqrt{3}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、椭圆 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $l$ ： $y = k x + 4$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ 、 $N$ .设直线 $A N$ 与直线 $B M$ 相交于点 $G$ ，求 $|G A| + |G P|$ 的最小值.

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20、为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现 $F$ 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现 $F$ 症状的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且每次给药后是否出现 $F$ 症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现 $2$ 次 $F$ 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现 $3$ 次 $F$ 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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