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相关试卷

1、设 $z + 2 = 3 \bar{z} + 4 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2、已知集合 $P = {x ∣ x > - 2}$ ， $Q = {x ∣ x > 1$ 或 $x < - 3}$ ，则（）

A、 $P \subseteq Q$ B、 $Q \subseteq P$ C、 $P \cap Q = {x ∣ x > - 2}$ D、 $P \cup Q =$ ${x ∣ x > - 2$ 或 $x < - 3}$

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3、信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $n$ ，且 $P (X = i) = p_{1} > 0 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，称 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln p_{i}$ 为 $X$ 的信息熵，用来刻画随机变量 $X$ 蕴含的信息量的大小．

(1)、抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 个点的正方体玩具），记出现向上的点数为 $X$ ，求 $H (X)$ 的值；

(2)、若 $n = 2$ ，求 $H (X)$ 的最大值；

(3)、求证； $H (X) \leq ln n$ ．

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - a e^{- x} - b x$ ．

(1)、当 $a = 2, b = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，若 $x > 0, f (x) > 0$ ，求实数 $b$ 的最大值．

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5、已知函数 $f (x) = ln (1 - \frac{3}{x})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $f (x) = f (- e^{x + 1})$ ；

(3)、若函数 $g (x) = (2 x - a) f (x)$ 的图象关于直线 $x = b$ 对称，求实数 $a, b$ 的值．

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6、为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某研究团队随机抽取了400只动物进行试验，得到如下列联表：
未患病
患病
未服用
100
90
服用
150
60

(1)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效？

(2)、现从参与试验且患病的150只动物中，按是否服用药物 $A$ 采用分层抽样的方法抽取5只动物，再从这5只动物中随机抽取2只动物进一步试验，记抽取的2只动物中服用药物 $A$ 的只数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）．
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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7、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(x - \frac{2}{x})}^{8}, x < 0, \\ - \sqrt{x}, x \geq 0. \end{array}$

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 表达式的展开式中含有 $x^{2}$ 项的系数；

(2)、当 $x > 0$ 时，求 $f (f (x))$ 表达式的展开式中的常数项．

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8、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为 $X$ ，则 $D (X) =$ ，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“ $X = 2$ ”的概率是．

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9、函数 $f (x) = x^{3} - |3 x - 2|$ 的零点个数为．

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10、若 $C_{14}^{m} = C_{14}^{m + 2}$ ，则 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{m}^{2}$ 的值为．

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11、设随机变量 $X \sim N (0, 1), f (x) = P (X \leq x)$ ，则（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $2 f (2) > f (1) + f (3)$ C、 $P (|X| \leq x) = 1 - 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

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12、设函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则（）

A、 $f (3) > f (5)$ B、 $f (e^{a} + 4) < f (\frac{4 e^{a} + 2}{e^{a} + 1})$ C、 $f (x) - f (\frac{e^{2}}{x}) \geq 0$ D、 $f (x) + f (\frac{1}{x}) \leq 0$

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13、已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a + b > a b$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} > {log}_{2} b - {log}_{2} a$ D、 $\sqrt{1 + a^{2}} - \sqrt{1 + b^{2}} < a - b$

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14、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ ．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（）

A、 $1 - α + β$ B、 $1 + α - β$ C、 $\frac{1}{2} (1 - α + β)$ D、 $\frac{1}{2} (1 + α - β)$

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15、已知 $a > 0, b > 0, a + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 b}{a b + 2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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16、从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）

A、48 B、60 C、72 D、100

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17、“ $α > 0$ ”是“函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、已知函数 $f (x) = \frac{ln (x + 1)}{x} (x > 0)$ ， $g (x) = f (x) + f (\frac{1}{x})$ ．

(1)、令 $h (x) = x f (x)$ ，求 $h (x)$ 在点 $(e - 1, h (e - 1))$ 处的切线方程：

(2)、讨论 $g (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性；

(3)、证明：（i）当 $x > 0$ 时， $ln (x + 1) > \frac{x}{x + 1}$
（ii） $1 < g (x) \leq 2 \ln 2$ ．

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20、有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组 $k (k \in N^{*}, 2 \leq k \leq N)$ 人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．

(1)、若 $k = 4$ ， $p = \frac{1}{4}$ ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；

(2)、用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；

(3)、设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若 $p = 0.01$ ，每组人数 $k = 10$ ，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．（参考数据： ${0.99}^{10} \approx 0.90$ ）

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	未患病	患病
未服用	100	90
服用	150	60

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828