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相关试卷

1、已知 $f (x) = \frac{2}{x} + 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 的值为（）

A、-1 B、-2 C、0 D、2

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2、 $A_{5}^{3} + A_{3}^{2} =$ （）

A、8 B、13 C、63 D、66

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin B - c \sin C + (c - a) \sin A = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、如图， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $a = 3$ ， $c = 4$ ，
（i）求 $B D$ 的长度；
（ii）若 $A B$ 边上的中线 $C E$ 与 $B D$ 相交于点F，求 $∠ D F E$ 的余弦值．

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4、某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.

(1)、求甲第二次答题通过初赛的概率；

(2)、求乙通过初赛的概率；

(3)、求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.

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5、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、若三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A A_{1}$ ．

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6、在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为．
（参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m， $\bar{x}$ ， $s_{1}^{2}$ ；n， $\bar{y}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数和样本方差为 $\bar{ω}$ ， $s^{2}$ ，其中 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}])$ ．

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7、某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为．

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8、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为 $B C$ 的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）

A、直线 $A P$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时，截面S的形状为等腰梯形 C、当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时，S与 $C_{1} D_{1}$ 交于点R，则 $C_{1} R = \frac{1}{4}$ D、当 $\frac{1}{2} < C Q < 1$ 时，直线 $P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角正弦值的取值范围是 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{1}{2})$

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9、已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ， $|z| = \sqrt{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 + 4 i|$ 的最大值为6

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10、抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $N$ 表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件 $N$ 相互独立的是（）

A、第二次朝上的数字是奇数 B、第二次朝上的数字为2 C、两次朝上的数字之和为9 D、两次朝上的数字之和为10

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11、已知两个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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12、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $A O$ 上，且 $|M A| = 2 |M O|$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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13、若复数 $z = (m + 1) + (2 - m) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|\frac{6 + 3 i}{z}| =$

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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14、已知四面体 $A B C D$ .

(1)、若该四面体为正四面体，球 $O$ 与其四个面都相切，证明：该四面体与球 $O$ 的体积之比等于它们的表面积之比；

(2)、设点 $G$ 是满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ，过点 $G$ 的平面 $Ω$ 分别与直线 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 交于点 $P$ ， $Q$ ， $R$ ，且 $\vec{A P} = λ_{1} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = λ_{2} \vec{A C}$ ， $\vec{A R} = λ_{3} \vec{A D}$ ，证明： $\frac{1}{λ_{1}} + \frac{1}{λ_{2}} + \frac{1}{λ_{3}} = 4$ ；

(3)、若空间内一点 $H$ 满足 $a \vec{H A} + b \vec{H B} + c \vec{H C} + d \vec{H D} = \vec{0}$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为实数，且全不为0），证明： $V_{H - B C D} : V_{H - A C D} : V_{H - A B D} : V_{H - A B C} = |a| : |b| : |c| : |d|$ .

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15、一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为 $1, 2, 3$ ，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为 $i$ ，第二次摸到的小球号码为 $j$ .

(1)、记“ $i + j > i \cdot j$ ”为事件 $A$ ，求 $P (A)$ ；

(2)、完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为 $k$ ，号码 $i, j, k$ 中出现偶数的个数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ .的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 2} + a_{n} - 2 a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ .若 $a_{11} + a_{15} + a_{19} = 12$ ，则 $S_{29} =$ .

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17、已知A，B，C是抛物线 $W : y^{2} = 28 x$ 上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为 $P (m, n)$ ，则（）

A、当 $m = 9$ 时， $|A B|$ 的最大值为32 B、当 $m = 8$ 时， $|C P| + |C F|$ 的最小值为22 C、当 $n = 5$ 时，直线AB的斜率为 $\frac{14}{5}$ D、当 $\vec{A F} // \vec{A B}$ 时，点P到直线l的距离的最小值为14

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18、已知函数 $f (x) = \frac{|2^{x - 1} - 1| + 2^{x - 1} + 1}{2}$ ，若 $f (m^{2} - m - 1) > f (- m^{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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19、六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{10}$

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20、国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从 $2000$ 年开始，每 $3$ 年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是 $40$ 至 $100$ 分，如图是 $2024$ 年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（）

A、该地学生成绩的中位数一定大于 $75$ B、该地学生成绩的平均数一定小于 $65$ C、该地学生成绩的极差介于 $40$ 至 $60$ 之间 D、该地学生成绩没有超过 $60$ 分的学生所占比例为 $30 %$

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