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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - 2 i$ 其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

(1)、将函数 $f (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ)$ 的形式，并求出函数的最小正周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若方程 $2 g (x) - m = 1$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $\tan (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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3、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\cos x, \sqrt{3})$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} + 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最值．

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4、已知 $f (α) = \frac{\sin (π + α) \cos (2 π - α) \tan (2 π - α)}{\tan (- α - π) \cos (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ．
（1）化简： $f (α)$ ；
（2）在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若 $c = 2$ ， $f (C) = - \frac{1}{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求a、b的值．

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5、已知 $A (4, 0), B (0, 4), C (cos α, sin α), (0 < α < π)$ ．

(1)、若 $|\vec{O A} + \vec{O C}| = \sqrt{21}$ （ $O$ 为坐标原点），求 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B C}$ ，求 $sin α - cos α, {sin}^{3} α + {cos}^{3} α$ 的值．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (t, - 1), \vec{c} = (- 3, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b})$ ∥ $(2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求实数t的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A = 30 °$ ， $a = 7 \sqrt{2}$ ， $c = 14$ ，则 $C =$ ．

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9、下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 6)$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 C、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (4, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{16}{5}, \frac{12}{5})$ D、若向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足 $|\vec{m}| = 2$ ， $|\vec{n}| = 3$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3$ ，则 $|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{7}$

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10、与向量 $\vec{a} = (- 6, 8)$ 共线的单位向量的坐标为（　　）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 分别是 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 的中线且交于点 $O$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{C A}$ B、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ C、 $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0}$ D、 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

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12、已知点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $D, E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边上一点， $D$ ， $G$ ， $E$ 三点共线， $F$ 为 $B C$ 的中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A D} + μ \vec{A E}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{4}{μ}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、7 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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13、若函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $3$

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14、已知点E为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，且 $D E = 2 B E$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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15、若 $tan θ =−2$ ，则 $\frac{1−sin2 θ}{\sqrt{2} sin θ ⋅sin (θ − \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $− \frac{1}{2}$ C、 $− \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (3, 9)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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17、设随机变量 $X \sim B (12, p)$ ，若 $E (X) \leq 4$ ，则 $D (X)$ 的最大值为．

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18、若 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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19、如图，两个正四棱锥的底面都为正方形 $A B C D$ ，顶点 $M, N$ 位于底面两侧， $|A B| = 2, A M ⊥ A N$ ．记正四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱锥 $N - A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ．

(1)、求 $V_{1} + V_{2}$ 的最小值；

(2)、若 $V_{1} = 2 V_{2}$ ，求直线 $A M$ 与平面 $B C N$ 所成角的正弦值．

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20、某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)、第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；

(2)、第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的 $2 \times 2$ 列联表．
体育成绩
学业成绩
合计
优秀
不优秀
不优秀
200
400
600
优秀
100
100
200
合计
300
500
800
根据小概率值 $a = 0.005$ 的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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体育成绩	学业成绩		合计
体育成绩	优秀	不优秀	合计
不优秀	200	400	600
优秀	100	100	200
合计	300	500	800

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828