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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 3 \sin x - x \cos x$ ，设 $g (x) = f^{'} (x)$ .

(1)、求证： $g (x)$ 是 $(0, π)$ 上的单调递减函数；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2 x$ .

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2、在 $△ A B C$ 中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求角C大小；

(2)、求证： $a + b \leq 2 c$ .

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3、已知点M为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点， $4 |M O| = 4 |M F| = 7 |O F|$ ，则双曲线C的离心率为；若 $M F, M O$ 分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} =$ ．

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4、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, A B$ 是经过抛物线焦点F的弦，M是线段 $A B$ 的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线 $A C, B D, M N$ ，垂足分别是C，D，N，其中 $M N$ 交抛物线于点Q，连接 $Q F, N F, N B, N A$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| M N | = \frac{1}{2} | A B |$ B、以 $A N$ 为直径的圆与x轴相切 C、 $△ Q F M$ 为等腰三角形 D、 $∠ Q F M = 2 ∠ Q M F$

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5、下列说法中正确的是（）

A、数据1，2，2，3，4，5的极差与第六十百分位数之和为7 B、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $X ~ B (20, p)$ ，且 $E (X) = 8$ ，则 $D (X) = 4.8$ C、 $X$ 和 $Y$ 是分类变量，若 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 值越大，则判断“ $X$ 和 $Y$ 独立”的把握性越大 D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 5) = 0.2$ ，则 $P (- 1 < X < 5) = 0.6$

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6、在 $(2 - \frac{x}{y}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{2}$ 的项的系数是（）

A、 $- 10$ B、10 C、20 D、30

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7、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x \geq 1\}$ ，集合 $B = \{y |y = \sqrt{2^{x} - 1}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[\sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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8、复数 $\frac{i^{2025}}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = lg (\frac{4 - m x}{4 + x})$ ，其中 $m > 0$ 且 $f (1) + f (- 1) = 0$ ．

(1)、求 $m$ 的值和函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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10、已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + 4$ ．

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $f (x)$ 在 $[- 4, 2]$ 上的值域；

(2)、当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) \geq x^{2} + a x$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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11、某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 $4800 m^{3}$ ，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元?

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12、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 2 ⩽ 3 x - 2 ⩽ 4}$ ， $B = {x | m ⩽ x ⩽ m + 3}$ .
（1）当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B$ 与 $A \cup ∁_{U} B$ ；
（2）若 $A \cup B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 1, x \leq 1 \\ \frac{1}{x} - 2, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ ；若关于x的方程 $|f (x)| = k$ 恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是.

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14、函数 $y = 2^{x - 1}$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最小值为．

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15、高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $y = [x]$ 也被称为“高斯函数”，例如 $[- 2.5]= - 3,[0.1] = 0$ .已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递增 B、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上有4个实数根 C、若 $a, b \in R$ ，则 $|f (a) - f (b)| < 1$ D、 $\forall x \in R$ ，都有 $[f (x)] = 0$

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16、下列命题正确的有（）

A、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$

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17、下列结论正确的是（）

A、 $\log_{2} 4 = 2$ B、 ${2.1}^{0.5} > {2.1}^{- 1.8}$ C、 $3^{\log_{3} 2} = 2$ D、 $- \ln e = 1$

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18、函数 $y = \log_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 3 x + 2)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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19、已知 $a = \log_{4} 2$ ， $b = \log_{5} \frac{1}{2}$ ， $c = 3^{2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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20、已知命题 $p : \forall x \leq 2, x^{3} - 8 \leq 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{3} - 8 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 2, x^{3} - 8 > 0$ C、 $\exists x \leq 2 ， x^{3} - 8 > 0$ D、 $\exists x > 2 ， x^{3} - 8 > 0$

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