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相关试卷

1、内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点 $C$ 与 $D$ 与塔底 $B$ 在同一水平面，并测得 $C D = 20 \sqrt{2}$ 米， $∠ B C D = 15^{\circ}, ∠ B D C = 120^{\circ}$ ，在点 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $10 \sqrt{6}$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、60米

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2、现有 $A, B$ 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球 $a$ 为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（）

A、M发生的概率为 $\frac{1}{3}$ B、M与N互斥 C、M与N相互独立 D、P发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - k x ， g (x) = sin x$ .

(1)、若 $k = 2$ ，求函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $k = 1$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x - 1) = m + 1$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $1 < \frac{x_{2}}{x_{1}} \leq 2$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $f (n) + k n$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} - a_{n} = g (\frac{1}{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，求证：当 $n \in N^{*} ， n \geq 2$ 时，有 $S_{2 n - 1} - S_{n - 1} < \frac{4 n - 3}{2 (n - 1) (2 n - 1)} + 2 ln 2$ .

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4、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D / /$ 平面 $E B C$ ；

(2)、若三棱锥 $A - E B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $E B C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 夹角的余弦值.

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5、定义 $max \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), f (x) < g (x) \end{array}, min \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} g (x), f (x) \geq g (x) \\ f (x), f (x) < g (x) \end{array}$ ．

(1)、用解析式表示 $h (x) = max \{x^{2} - 2 x - 2, x + 2\}$ ，并写出 $h (x)$ 的定义域：

(2)、证明： $min \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x) - |f (x) - g (x)|}{2}$ ；

(3)、设 $G (x) = x^{2} + (b - 4) x + b + 5 - |x^{2} - (b + 4) x - b + 5|, H (x) = x + 2$ ．若对任意 $x_{1} \in [0, 4]$ ，都存在 $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，使得 $G (x_{1}) = H (x_{2})$ ，求实数 $b$ 的取值范围．

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6、设函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + 2$ ，其中 $t \in R$ .

(1)、若命题“ $\exists x \in R$ ， $f (x) < 0$ ”为假命题，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、判断 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 在区间 $(0, \sqrt{2}]$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

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7、已知集合 $A = \{x |- 3 \leq x \leq 1\}$ ， $B = \{x |a - 2 < x < a + 2, a \in R\}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $B \subseteq ∁_{R} A$ ，求a的取值范围．

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8、下列命题中是真命题的是（）

A、若 $b < a < 0, m < 0$ ，则 $\frac{m}{a} > \frac{m}{b}$ B、 $\forall a > b > 0$ ，当 $m > 0$ 时， $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ C、不等式 $\frac{x - 3}{2 x + 1} \geq 0$ 成立的一个充分不必要条件是 $x < - 1$ 或 $x > 4$ D、函数 $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1} (x > - 1)$ 的最小值为3

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9、方程 $\sqrt{1 - x^{2}} = x + k$ 有唯一解，则实数k的范围是 (　　)

A、 $k = - \sqrt{2}$ B、 $k \in (- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $k \in [- 1, 1)$ D、 $k = \sqrt{2}$ 或 $- 1 \leq k < 1$

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，满足 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递增，且 $f (3) = 0$ ，则不等式 $(x^{2} - 2 x - 3) f (x) \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 3]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3]\cup[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3]\cup[- 1, + \infty)$

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11、已知 $p : 0 < m < 1$ ， $q :$ 一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + x + m + 2 = 0$ 有一个正根，一个负根，则p是q的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、命题 $\exists x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $x + 2 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + 2 > 0$ C、 $\exists x \notin R$ ， $x + 2 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + 2 > 0$

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13、已知函数 $f (x) = - 2 a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} + x (1 - 2 a) (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + e^{x} - 2 > 0$ ．

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \frac{1}{(n - 1) n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ，并证明： $\{n S_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $f (x) = S_{1} x + S_{2} x^{2} + S_{3} x^{3} + \dots + S_{n} x^{n}$ ，求 $f^{'} (2)$ ．

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $30 °$ ，抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点 $F$ 在双曲线 $C$ 上，过点 $B (- 2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、证明：直线 $F M$ 与直线 $F N$ 的斜率之积为定值．

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16、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $A B = A C$ ， $A_{1} B = A_{1} C$ ．

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、若 $A A_{1} = \sqrt{2} A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值．

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17、二项式 ${(2 x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数和为46．

(1)、求n的值及展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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18、已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} < m$ 恒成立，则实数m的取值范围．

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19、将函数 $f (x) = \sin (3 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到奇函数 $g (x)$ 的图像，则 $φ =$ ．

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20、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列关于首项 $a_{1}$ 和公比 $q$ 的条件中， $S_{n}$ 一定取到最小值的有（）．

A、 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ B、 $a_{1} > 0$ ， $q < 0$ C、 $a_{1} < 0$ ， $q > 0$ D、 $a_{1} < 0$ ， $- 1 < q < 0$

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