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相关试卷

1、点 $N$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 上， $F$ 是椭圆的一个焦点， $M$ 为 $N F$ 的中点，若 $|O M| = 4$ ，则 $|N F| =$ ．

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2、直线 $2 x + 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角为．

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3、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$

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4、已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$ B、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{1} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ C、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1, - \sqrt{3})$ D、若直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2 a)}^{2} + y^{2} = 9$ 有两条公切线，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, + \infty)$ D、 $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

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6、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，已知 $E$ 是 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\vec{O F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$

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7、经过点 $M (1, 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 的切线，则切线方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $2 x - y - 5 = 0$ C、 $x + 2 y - 5 = 0$ D、 $x - 2 y - 5 = 0$

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8、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点， $P$ 为椭圆上一点，若 $|P F_{1}| = 2$ ，则 $|P F_{2}|$ 为（）

A、1 B、4 C、6 D、7

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9、已知直线 $l_{1}$ ： $x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $m x + 3 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m$ 为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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10、已知直线过 $A (0, - 1)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，则该直线的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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11、对于数集M，定义M的特征函数： $f_{M} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \notin M \\ - 1, x \in M \end{array}$ ，对于两个数集 $M 、 N$ ，定义 $M \otimes N = \{x ∣ f_{M} (x) \cdot f_{N} (x) = - 1\}$ .

(1)、已知集合 $A = {1, 3, 7, 9}, B = {2, 3, 7, 8}$ ，
（i）求 $f_{A} (1)$ 的值，并用列举法表示 $A \otimes B$ ；
（ii）若用 $card (M)$ 表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求 $card (X \otimes A) + card (X \otimes B)$ 的最小值（无需证明）；

(2)、证明： $f_{A \otimes B} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$ .

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12、已知 $f (x) = \frac{b x + c}{4 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的函数，若满足 $f (x) + f (- x) = 0$ 且 $f (1) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明你的结论；

(3)、设函数 $g (x) = x^{2} - 2 m x + 4 (m \in R)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [1, 2]$ 都有 $g (x_{2}) < f (x_{1})$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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13、习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为 $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x, x \in [120, 144), \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, x \in [144, 500), \end{array}$ ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润.

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

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14、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 2)$ 上单调，求b的取值范围；

(2)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，求关于x的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集．

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15、已知集合 $U$ 为全体实数集，集合 $A = {x ∣ x < - 2$ 或 $x > 5}$ ， $B = \{x| a + 1 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $∁_{U} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq ∁_{U} A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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16、已知 $a > 0$ ，集合 $A = \{x | x < - \frac{1}{2} 或 x > 1\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} - 2 a x - 3 \leq 0\}$ ，若 $A \cap B$ 中恰有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，在 $(- \infty, 0]$ 上为单调增函数，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集为．

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18、计算： ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 0.96)}^{0} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2} =$ .

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19、设函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- 1, 1)$ ； B、任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ； C、任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ； D、规定 $f_{1} (x) = f (x), f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $f_{n} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{n + 2}$ .

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20、下列函数中，是偶函数且值域为 $[0, + \infty)$ 的有（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = |x^{2} - 2|$ C、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ D、 $y = x^{2} - 2 | x |$

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