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1、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），有下列正确的命题（）

A、三棱锥 $A_{1} - D_{1} P D$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ ； B、若 $C Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ ，则直线 $C Q$ 不可能垂直于直线 $C_{1} Q$ ； C、平面 $A_{1} P D$ 截正方体的截面为等腰梯形； D、三棱锥 $A - A_{1} P D$ 的外接球的表面积为 $\frac{41}{16} π$ .

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2、过定点 $A$ 的动直线 $l_{1} : x + m y - 4 m - 1 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $l_{2} : m x - y - m + 3 = 0$ ， $P$ 点为两直线的交点，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，则下列说法正确的有（）

A、对任意 $m$ ，圆 $C$ 上恒有4个点到直线 $l_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ B、直线 $l_{2}$ 以与圆 $C$ 相交且最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、动点 $P$ 的轨迹与圆 $C$ 相交 D、 $P A^{2} + P B^{2}$ 为定值

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3、给出下列说法，其中正确的是（）

A、数据 $0$ ， $1$ ， $1$ ， $2$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 的极差与众数之和为 $6$ B、已知一组数据 $1$ ， $2$ ， $m$ ， $8$ ， $m + 1$ ， $9$ 的平均数为 $6$ ，则这组数据的中位数是 $8$ C、已知某班共有 $45$ 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 $9$ 名，则小明成绩是全班数学成绩的第 $20$ 百分位数 D、一组不完全相同数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的方差为 $3$ ，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{n} + 1$ 的方差为 $12$

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4、法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的蒙日圆为 $C : x^{2} + y^{2} = \frac{5}{3} a^{2}$ ，过 $C$ 上的动点 $M$ 作 $Γ$ 的两条切线，分别与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $P Q$ 交 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论错误的是（）

A、椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{5}{3} a^{2}$ C、 $M$ 到 $Γ$ 的左焦点的距离的最小值为 $(\frac{\sqrt{15}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) a$ D、若动点 $D$ 在 $Γ$ 上，将直线 $D A$ ， $D B$ 的斜率分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{3}$

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5、已知函数 $f (x) = 2024^{x} - 2024^{- x}$ ，若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $f (x - 2) + f (y) = f (0)$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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6、已知 $M$ ， $N$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 上关于原点对称的两点， $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点，则 ${|M F|}^{2} + 6 |N F|$ 的取值范围为（）

A、 $[36, 54]$ B、 $[38, 55]$ C、 $[39, 55]$ D、 $[39, 56]$

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7、下列说法错误的有（）

A、若A与 $B$ 相互独立， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{9}$ B、把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 C、从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件 $A =$ “至少有2个红球”，事件 $B =$ “都是白球”，则事件A与事件 $B$ 是互斥事件 D、甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为 $\frac{1}{3}$

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8、若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 ω x + 2 \cos^{2} ω x (ω > 0, x \in R)$ ，又 $f (x_{1}) = 3$ ， $f (x_{2}) = - 1$ 且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{3}{4} π$ ，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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9、已知向量 $\vec{a} = (4, m)$ ， $\vec{b} = (m - 2, 2)$ ，则“ $m = 4$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知 $i$ 是虚数单位， $3 + 5 i = (1 + i) z$ ，则 $|z + 1| =$ （）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{37}$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $9$

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11、已知集合 $A = \{x |2 x^{2} - 3 x > 0\}$ ， $B = \{x |\ln (x - 1) < 0\}$ 则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(\frac{2}{3}, 2)$ B、 $[0, \frac{2}{3})$ C、 $(0, 2)$ D、 $(1, \frac{3}{2}]$

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12、在平面直角坐标系中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 上的任一点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，动直线 $l : x + m y + n = 0$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $G$ 关于 $O$ 的对称点是 $H$ ，以 $H$ 为圆心作圆与 $y$ 轴相切，设 $D$ 为 $A B$ 的中点，过 $D$ 作圆的两条切线，切点分别为 $E$ ， $F$ ，求 $∠ E D F$ 的最小值.

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13、将菱形 $A B C D$ 绕直线 $A D$ 旋转到 $A E F D$ 的位置，使得二面角 $E - A D - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，连接 $C F$ ， $B E$ ，得到几何体 $A B E - D C F$ ，已知 $A B = 4$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A F$ ， $B D$ 上的动点，且 $\frac{A M}{A F} = \frac{B N}{B D} = λ (0 < λ < 1)$ .

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、证明： $M N / /$ 平面 $C D F$ ；

(3)、当 $M N$ 的长度最小时，求直线 $M N$ 与平面 $M B C$ 所成角.

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A^{'} = 3, ∠ B A D = 90^{\circ},$ $∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60^{\circ} .$

(1)、求证： $B D ⊥ A C^{'}$ ；

(2)、求 $A C^{'}$ 的长

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15、已知直线 $l : x - 2 y - 3 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $M (3, - 1)$ ，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} ∥ l$ ，且直线 $l_{2}$ 与直线 $l$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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16、如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， E为 $A B$ 边上的点，现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A^{'} D E$ ，使得点 $A^{'}$ 在平面 $E B C D$ 上的射影在 $C D$ 上，且直线 $A^{'} D$ 与平面 $E B C D$ 所成的角为 $30 °$ ，则线段 $A E$ 的长为.

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17、已知直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B C$ 面积为2，则 $m$ 值是.

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18、已知点 $M (1, - \sqrt{3})$ ， $N (- \sqrt{3}, 1)$ ，则直线 $M N$ 的倾斜角为.

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19、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 就是其中之一，下列几个结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、曲线 $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D、曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$

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20、某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）

A、甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 $\frac{1}{2}$ B、乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 $\frac{1}{6}$ C、丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{1}{10}$ D、丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{2}{7}$

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