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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $a = 1, A = 135^{\circ}$ ，则 $\frac{b + 2 c}{sin B + 2 sin C}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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2、若 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $1$ C、 $- i$ D、 $- 1$

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3、已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $A = {2, 4, 5}$ ，集合 $B = {1, 3, 5, 7}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${6, 8}$ B、 ${6}$ C、 ${8}$ D、 ${1, 6, 8}$

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4、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B D = 1$ ， $C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $θ$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥ M N$ ；

(2)、用 $x$ ， $θ$ 表示三棱锥 $M - C D N$ 的体积；

(3)、设在三棱锥 $A - B C D$ 内有一个半径为 $r$ 的球， $0 < x \leq 2$ ，且 $θ = x$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ ．

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5、经过原点 $O$ 的直线与圆 $M$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，过点 $C (1, 0)$ 且与 $A B$ 垂直的直线与圆 $M$ 的另一个交点为 $D$ ．

(1)、当点B的坐标为 $(- 1, - 2)$ 时，求直线 $C D$ 的方程；

(2)、记点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $F$ （异于点 $A$ ， $B$ ），求证：直线 $B F$ 恒过 $x$ 轴上的一个定点；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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6、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}, B C = \sqrt{3}, A C ⊥ C D$ ，且 $A C = C D$ .

(1)、若 $cos ∠ B A C = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ ，求 $A C$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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7、已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (1, 2)$ ，边 $B C$ 的中线 $A P$ 所在直线方程为 $x + 2 y - 2 = 0$ ，边 $A B$ 上的高 $C H$ 所在直线方程为 $x - y - 1 = 0$ ．

(1)、求A的坐标；

(2)、求点A到直线 $B C$ 的距离．

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8、已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (4, 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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9、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）上一动点， $E$ 是棱 $C D$ 上一点，若 $∠ A P B = ∠ D P E$ ，且 $△ A P B$ 的面积是 $△ D P E$ 面积的9倍，则三棱锥 $P - A B E$ 体积的最大值是．

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10、已知在 $Δ A B C$ 所在的平面内有一点 $P$ ，满足 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{A B}$ ，则 $Δ P B C$ 与 $Δ A B C$ 的面积之比是．

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为.

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12、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P B$ ，则（）

A、 $△ P A D$ 的面积为定值 B、 $∠ A P D = ∠ B P C$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 表面积的最小值为 $3 \sqrt{5} + 4$ D、若四棱锥 $P - A B C D$ 存在内切球，则该球半径为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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13、动直线 $l_{1} : x + k y - k = 0$ 与动直线 $l_{2} : k x - y + 2 k - 1 = 0$ 相交于点 $C (a, b)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{2}$ 过的定点是 $(- 2, - 1)$ B、点C的轨迹是一个完整的圆 C、 $\frac{3 a + b - 3}{a - 1}$ 的最小值为2 D、 $|a - b + 3|$ 的取值范围为 $(0, 4]$

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14、关于复数 $z = 4 + 3 i$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z + \bar{z} = 8$ B、 $z$ 是方程 $x^{2} - 8 x + 25 = 0$ 的一个根 C、若复数 $z$ 满足 $ω^{2} = z$ ，则 $ω = 2 + i$ D、若 $|z_{1} - z| = 2$ ，则 $|z_{1}| \in [3, 7]$

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} - \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $(\vec{c} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{a} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、4

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16、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，若 $P$ 在 $△ A B C$ 内（包括边界）运动，则直线 $D _{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{6}}{4}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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17、如图所示，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 6, O^{'} C^{'} = 2$ ，则原图形的面积为（）

A、12 B、 $12 \sqrt{2}$ C、24 D、 $24 \sqrt{2}$

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18、若复数 $z = - 1 - 2 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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19、已知 $x > 0, y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为.

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20、已知点 $(2, \frac{1}{2})$ 在幂函数 $f (x) = x^{b}$ 的图象上，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (4) = \frac{1}{4}$ D、函数 $f (x)$ 在定义域内是减函数

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