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相关试卷

1、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ (如图)，过 $F_{2}$ 的直线交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $|P F_{2}| = 13 |F_{2} Q|$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、下列命题正确的是（）

A、在空间四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{C D} + \vec{B C} \cdot \vec{A D} + \vec{C A} \cdot \vec{B D} = 0$ B、 $|\vec{a}| - |\vec{b}| < |\vec{a} - \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线的充要条件 C、在棱长为1正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ D、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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3、已知点 $M (3, 1)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 2 k + 4 = 0$ 外，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $- 6 < k < \frac{1}{2}$ B、 $k < - 6$ 或 $k > \frac{1}{2}$ C、 $k > - 6$ D、 $k < \frac{1}{2}$

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4、已知平面 $α$ 内有一个点 $A (2, - 1, 2)$ ， $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, 2, 3)$ ，则下列点 $P$ 中，在平面 $α$ 内的是（）

A、 $(1, 2, 1)$ B、 $(3, 0, 1)$ C、 $(1, 1, - 1)$ D、 $(1, - 1, 1)$

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5、直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率是方程 $x^{2} - m x - 1 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $l_{1} // l_{2}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交但不垂直 D、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系不确定

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6、过点 $(2, 0)$ 且与直线 $x + y - 1 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $x - y + 2 = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x - y - 2 = 0$ D、 $x + y - 3 = 0$

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{2 a - b}{c} = 2 \cos B$ .

(1)、求角C；

(2)、设 $D$ 在 $A C$ 上，且 $A D = 2 C D, B D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $3 a + b$ 的取值范围．

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8、数列 $\{a_{n}\}$ ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N *)$ .对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$ 等.借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到 $a_{n + 1}^{2} = a_{n + 1} (a_{n + 2} - a_{n}) = a_{n + 2} a_{n + 1} - a_{n + 1} a_{n}$ ，从而易得 $a_{1}^{2}$ ＋ $a_{2}^{2}$ ＋ $a_{3}^{2}$ ＋…＋ $a_{126}^{2}$ 值的个位数为.

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9、若圆锥的底面直径为6，母线长为5，则其内切球的表面积为．

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）

A、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A C = 3$ ，则满足条件的三角形有且只有一个 C、若 $△ A B C$ 不是直角三角形，则 $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ D、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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11、已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、 $a^{2}$ B、 $\frac{1}{2} a^{2}$ C、 $\frac{1}{4} a^{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

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12、在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（）

A、32 B、24 C、18 D、12

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{2}{n^{2} + n}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{25}{9}$ B、 $\frac{14}{5}$ C、 $\frac{31}{11}$ D、 $\frac{17}{6}$

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14、已知 $2 \cos (2 x + \frac{π}{12}) \cos (x - \frac{π}{12}) - \cos 3 x = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin (\frac{π}{6} - 2 x) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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15、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} + 3 x + 2 > 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ 0 \leq x \leq 4\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cup B = R$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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16、若函数 $f (x)$ 的图象在区间 $I$ 上是连续不断的曲线，对任意 $x_{1}, x_{2} \in I$ ，若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立），则称函数 $f (x)$ 是区间 $I$ 上的上凸函数；若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立），则称函数 $f (x)$ 是区间 $I$ 上的下凸函数.
上述不等式可以推广到取区间 $I$ 的任意 $n$ 个点，即若 $f (x)$ 是上凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n} \in I$ ，恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）；若 $f (x)$ 是下凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n} \in I$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）.
应用以上知识解决下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = lg x$ 在 $(0, + \infty)$ 是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；

(2)、利用（1）的结果证明：对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n} \in (0, + \infty)$ ，都有 $\frac{x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + \dots x_{n}^{n}}{n} \geq x_{1} x_{2} \dots x_{n}$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立；

(3)、设 $g (x) = \frac{x^{n}}{n} + \frac{1}{x}$ ，其中 $n > 2$ 且 $n \in Z$ ，则当 $x > 0$ ，求 $g (x)$ 最小值.

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17、某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量 $y$ （毫克）与开始注射后的时间 $t$ （小时）之间近似满足如图所示的曲线， $y$ 与 $t$ 的函数关系为 $y = m a^{t} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .根据图中提供的信息：

(1)、写出开始注射该药后每升血液中药物含量 $y$ （毫克）关于时间 $t$ （小时）的函数关系式；

(2)、据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）；

(3)、第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）.
（参考值： $ln 2 \approx 0.69, ln 5 \approx 1.61$ ）

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18、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

(1)、证明函数 $y = f (x)$ 为偶函数；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调情况，并用函数单调性的定义进行证明；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $2 f (ln t) + |ln t| < 2$ .

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19、已知关于 $x$ 的二次函数 $f (x) = x^{2} - b x + b - 1$ .

(1)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 2$ 或 $x > 1}$ ，求 $b$ 的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上具有单调性，求 $b$ 的取值范围；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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20、已知 $A = \{x ∣ a - 2 \leq x \leq 2 a\}, B = \{x ∣ x > 2\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap B$ 及 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \subseteq (∁_{R} B)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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