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相关试卷

1、函数 $y = f (x)$ 的导函数记为 $f^{'} (x)$ ，若对函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D$ 内任意实数 $x$ ，存在实数 $t$ ，使得不等式 $f (x + t) \geq (t + 1) \cdot f^{'} (x)$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 为 $D$ 上的＂ $M (t)$ 函数＂．

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 是否是 $[0, π]$ 上的“ $M (\frac{π}{2})$ 函数”，请说明理由；

(2)、若函数 $h (x) = e^{x} + m x$ 是 $(1, + \infty)$ 上的“ $M (1)$ 函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x) = x^{2} - a x$ 是 $[0, 2]$ 上的“ $M (2)$ 函数”．若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, 2]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{ln x_{1} - ln x_{2}} > p$ 成立，求实数 $p$ 的最大值．

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2、设函数 $f (x) = cos x cos (x - \frac{π}{6}) + \sqrt{3} {sin}^{2} x - \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ．

(1)、当 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值并求出对应的 $x$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $f (\frac{A}{2} + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1 - m}{2^{x}} (m \in R)$ 是定义在R上的增函数，图象关于原点中心对称．

(1)、求m的值；

(2)、若 $x \in [\frac{3}{2}, 4] ，$ 使得不等式 $f (- x^{2} - 3) + f (k x - x^{2}) \geq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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4、已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为 $7 π$ ，则该圆台外接球的体积为．

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5、设 $a$ 为实数，已知 $y = a x^{2} + a x - 2$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x - 2 < - 4 x$ 的解集为 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ ，求 $a$ ；

(2)、若对任意 $x \in R, y < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [1, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $a x_{1}^{2} + a x_{1} - 2 < 3 a x_{2} + 2 a$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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6、直线 $(m + 1) x - (m - 2) y - 3 = 0$ 过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为.

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7、为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了 $y$ 棵，按照树苗的高度 $X (cm)$ 进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在 $[80, 90)$ 内的树苗有10棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是（）

A、 $a = 0.020$ ， $y = 2000$ B、这 $y$ 棵树苗高度的中位数的估计值为114 C、在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有2000棵 D、若采用按比例分层抽样的方法从这 $y$ 棵树苗中抽取40棵，则高度在 $[110, 120)$ 内的有5棵

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8、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} + x^{3}$ ，则不等式 $f (- x) + f (2 x + 3) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- \infty, - 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(- 3, + \infty)$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (1 + x) = f (3 - x)$ ，且 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递减，则不等式 $f (2 x - 3) > f (3)$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(2, 3)$

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10、若复数 $z = 2 + 3 i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （　　）

A、13 B、 $\sqrt{13}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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11、已知全集 $U = \{x \in Z | - 2 < x \leq 3\}$ ， $A = \{0, 1, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 1, 3}$ B、 ${- 2, - 1, 3}$ C、 $\{- 1\}$ D、{3}

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12、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (5, 1)$ ， AB边上的中线CM所在直线方程为 $2 x - y - 5 = 0$ ， AC的边上的高BH所在直线方程为 $x - 2 y - 5 = 0$ ．

(1)、求顶点C的坐标；

(2)、求直线BC的一般式方程．

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13、已知直线 $l ： k x - 3 y + 2 k + 3 = 0 (k \in R)$ ．

(1)、证明：直线 $l$ 过定点；

(2)、若直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B ， O$ 为坐标原点，设 $△ A O B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值及此时直线 $l$ 的方程．

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14、已知 $A B$ //面 $α$ ，平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, 0, 1)$ ，平面 $α$ 内一点 $C$ 的坐标为 $(0, 0, 1)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1, 2, 1)$ ，则直线 $A B$ 到平面 $α$ 的距离为．

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15、已知直线 $l$ 过点 $(- 3, 0)$ ，且与直线 $2 x - y - 3 = 0$ 平行，则直线 $l$ 的方程为

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16、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $P$ 满足 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} C_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则（）

A、 $\vec{D B_{1}}$ 是平面 $A_{1} B C_{1}$ 的法向量 B、 $\vec{A_{1} P} ， \vec{A D_{1}} ， \vec{A_{1} B}$ 不共面 C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积是定值 D、 $B P$ 与底面 $A B C D$ 所成的角最小为 $45 °$

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17、若实数 $x, y, m$ 满足 $|x - m| < |y - m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ ，

(1)、请判断命题：“ $\sqrt{7}$ 比 $\sqrt{5}$ 接近 $\sqrt{6}$ ”的真假，并说明理由；

(2)、若 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ ，判断：“ $x > y$ ”是“ $x + y < 2 m$ ”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明.

(3)、已知 $x > 0, y > 0$ ，若 $p = \frac{2 x y}{x^{2} + 4 y^{2}} + \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ ，判断1与 $p$ 哪个数更接近 $\sqrt{2}$ ，请说明理由；

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18、设函数 $f (x) = 2 |x - 1| + x - 1$ ， $g (x) = 16 x^{2} - 8 x + 1$ ，记 $f (x) \leq 1$ 的解集为M， $g (x) \leq 4$ 的解集为N.

(1)、求M，N；

(2)、当 $x \in M \cap N$ 时，求 $x^{2} f (x) + x {[f (x)]}^{2}$ 的最大值.

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19、函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时，函数的解析式为 $f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ .

(1)、求 $f (- 2)$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数；

(3)、求函数 $f (x)$ 的解析式.

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20、方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 3 \\ x - y = 1 \end{array}$ 的解集用列举法表示为.

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