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相关试卷

1、已知直线 $l : y = k (x - 1)$ ， “ $k = \frac{2}{3}$ 或 $k = - \frac{2}{3}$ ”是“直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有且仅有一个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{20}{3} \sqrt{5} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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3、在平面直角坐标系中，由点 $P (- 2, 5)$ 发出的一条光线射向 $y$ 轴上的点 $Q (0, 1)$ 后，经 $y$ 轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $2 x - y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y + 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 2 = 0$

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4、已知样本数据为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 2025, s^{2} > 1$ B、 $\bar{x} = 2025, s^{2} < 1$ C、 $\bar{x} < 2025, s^{2} < 1$ D、 $\bar{x} = 2025, s^{2} > 1$

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5、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 - 3 a_{n}}{3 + 2 a_{n}}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2026}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- 1$ D、1

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6、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 (b \cos A + a \cos B) = c^{2}$ ， $b = 3$ ， $3 \cos A = 1$ ，则 $a =$

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、4

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7、已知i为虚数单位，复数z满足 $z + 1 = i (z - 2)$ ，则z的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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8、已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 1, - 3)$ ，则 $\frac{\sin (\frac{3 π}{2} + α) + \sin (π + α)}{\cos (3 π - α) + \sin (\frac{3 π}{2} - α)} =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 f (x) + a$ 在 $[0, \frac{5 π}{12}]$ 上有唯一零点，求 $a$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} - a \cdot 2^{x} + 1)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x$ .
（ⅰ）求证：函数 $g (x)$ 是偶函数；
（ⅱ）解关于 $x$ 的不等式 $g (x) < g (1 - x)$ .

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11、为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况：
平台成立年数 $x$ （2023年为第1年）
1
2
3
会员人数 $y$ （单位：百人）
16
24
36
为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势：
① $y = \frac{k}{x} + a (k > 0)$ ；② $y = k \log_{a} x (k > 0, a > 1)$ ；③ $y = k a^{x} (k > 0, a > 1)$ .

(1)、求此函数模型的解析式；

(2)、若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？
（参考数据： $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ）

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12、已知 $\tan α = \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $\frac{\sin α + \cos α}{2 \sin α - \cos α}$ 的值；

(2)、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin β$ 的值.

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13、设集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x | m - 4 < x \leq 3 m + 1\}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求集合 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

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14、已知函数 $f (x) = \lg \frac{x}{1 - x}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\cos^{2} θ) + f (\sin^{2} θ) =$ .

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15、已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $4 a + b$ 的最小值为.

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16、函数 $f (x) = 2^{|x|}$ 的值域为.

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17、已知函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ ，若 $f (α) + f (2 α) + f (3 α) = 0$ ，则 $\tan α$ 的取值可能是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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18、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $A = 2$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后关于原点对称 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称

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19、已知 $a > b > 0$ ， $c \in R$ ，则（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a + c > b + c$ C、 $a^{\frac{2}{3}} < b^{\frac{2}{3}}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + 1}{a + 1}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 1, x < 1 \\ x^{2} - a x, x \geq 1 \end{array}$ ，若存在 $x_{1} \neq x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0] \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$

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平台成立年数 $x$ （2023年为第1年）	1	2	3
会员人数 $y$ （单位：百人）	16	24	36