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相关试卷

1、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 2, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) / / \vec{a}$ B、 $| \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 3 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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2、已知直线 $l_{1} : m x + y + 3 m = 0$ 和 $l_{2} : x - m y + 3 m - 1 = 0$ ， $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的交点记为 $P$ ，若点 $Q (2, \frac{3}{2})$ ，则 $| P Q |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的上顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与直线 $A F$ 平行，若 $C$ 上有且仅有三个点到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $\sqrt{2} x + y + \sqrt{2} = 0$ B、 $\sqrt{2} x + y - \sqrt{2} = 0$ C、 $\sqrt{2} x - y - \sqrt{2} = 0$ 或 $\sqrt{2} x - y + \sqrt{2} = 0$ D、 $\sqrt{2} x + y + \sqrt{2} = 0$ 或 $\sqrt{2} x + y - \sqrt{2} = 0$

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4、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两垂直， $A B = A C = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B D$ ， $C D$ 的中点，则异面直线 $E C$ ， $A F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{205}}{15}$

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5、若抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上的点 $P (m, n) (m > 0)$ 到其焦点 $F$ 的距离为 $3$ ，则实数m的值为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、3 $\sqrt{2}$

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6、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ ，则它的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{5}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

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7、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} + 3 \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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8、已知直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 2)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x + y + 2 = 0$ B、 $2 x + y - 2 = 0$ C、 $2 x - y - 2 = 0$ D、 $2 x - y + 2 = 0$

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9、在空间直角坐标系中，点 $P (1, 3, 6)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是

A、 $(1, 3, - 6)$ B、 $(- 1, 3, - 6)$ C、 $(- 1, - 3, 6)$ D、 $(1, - 3, - 6)$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, 2 a_{n + 1} - a_{n} a_{n + 1} = 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 为等差数列，并求 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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11、已知角 $A, B, C$ 是 $△ A B C$ 的内角， $a, b, c$ 分别是其对边长，向量 $\vec{m} = (\sin \frac{A}{2}, \cos \frac{A}{2})$ ， $\vec{n} = (2 \sqrt{3} \cos \frac{A}{2}, - 2 \cos \frac{A}{2})$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、）若 $a = 2, \cos B = \frac{1}{3}$ ，求 $b$ 的长和 $△ A B C$ 的面积．

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12、已知在大小为 $\frac{π}{3}$ 的二面角 $α - l - β$ 中， $A \in α ， B \in β ， A C ⊥ l$ 于点 $C ， B D ⊥ l$ 于点 $D$ ，且 $C D = D B = 2 A C = 2$ ，则直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为．

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13、 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (\log_{\frac{1}{8}} 125)$ = ．

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14、已知正三棱锥 $A - B C D$ 的底面 $△ B C D$ 的边长为6，直线 $A B$ 与底面 $B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则正三棱锥 $A - B C D$ 的体积为（）

A、 $27 \sqrt{2}$ B、 $18 \sqrt{2}$ C、 $12 \sqrt{2}$ D、 $9 \sqrt{2}$

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数， $a_{5}, a_{6}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + e x + 1$ 的极值点，则 $\ln a_{1} + \ln a_{2} + \dots + \ln a_{10} =$ （）

A、5 B、6 C、10 D、15

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16、已知圆 $C_{1} : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 及圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ ，则与圆 $C_{1}, C_{2}$ 都相切的直线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、函数 $f (x) = \sqrt{2 - |x - 1|}$ 的定义域为（　　）

A、 $[- 3, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1]\cup[3, + \infty)$ C、 $[- 1, 3]$ D、 $(- \infty, - 3]\cup[1, + \infty)$

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18、已知角 $θ$ 的始边为x轴的非负半轴，终边经过点 $P (1, \sqrt{2})$ ，则 $\tan θ$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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19、已知复数 $z$ 满足 $(2 - 3 i) z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则在复平面内复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、已知集合 $A = \{x \in Z | - 2 \leq x < 1\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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