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相关试卷

1、下列有关向量的说法，正确的有（）

A、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{B C}$ 的夹角为60° B、两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 C、若 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 6)$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 D、已知非零向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{D C}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ，则A，B，C，D四点构成一个梯形

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2、在 $△ A B C$ 中，点D是边 $A C$ 的中点，且 $B D = 2 \sqrt{3}$ ，若点P为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P B} \cdot (\vec{P A} + \vec{P C})$ 的最小值是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- 6$

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{2 \sin C}{\sin A + \sin B} = \frac{a - b}{c}$ ，则角 $C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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4、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 10$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的a的值可以为（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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5、 $\frac{1 - 2 \sin^{2} 35^{\circ}}{\sqrt{1 - \sin 40^{\circ}} - \cos 20^{\circ}}$ 的值等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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6、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的非零向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $- 8$

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7、函数 $y = 3 x - 2$ 的零点是（）

A、 $- 2$ B、 $(0, - 2)$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $(\frac{2}{3}, 0)$

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8、设抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x$ （ $p$ 为常数，且 $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上且位于第一象限，过点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、若点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，求 $|H F|$ ．

(2)、设过 $F$ ， $A$ ， $H$ 三点可作椭圆 $C_{2}$ ，且 $C_{2}$ 的两个焦点均在 $x$ 轴上，记 $x$ 轴正半轴上的焦点为 $B$ ，且 $B$ 在 $F$ 的左侧．
（ⅰ）证明： $△ A H B$ 的周长为定值．
（ⅱ）证明： $C_{2}$ 的离心率大于 $\frac{1}{4}$ ．

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9、若直线 $m^{2} x - 8 y - 1 = 0$ 与直线 $m^{3} x + 4 y - 7 = 0$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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10、给定正整数 $k \geq 2$ ，设集合 $A_{(n, k)} = \{(a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} \in \{1, \cdot \cdot \cdot, k\}\}$ ，若集合 $T \subseteq A_{(n, k)}$ ，且T中存在元素 $(a_{1}^{(1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(1)}), \cdot \cdot \cdot, (a_{1}^{(n + 1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(n + 1)})$ （ $(1), \cdot \cdot \cdot, (n + 1)$ 是为了区分元素而设置的角标），对任意的 $i \in \{1, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 满足 $a_{i}^{(1)} = \cdot \cdot \cdot = a_{i}^{(i)} < a_{i}^{(i + 1)} = \dots = a_{i}^{(n + 1)} (n \geq 1)$ ，则称集合T为集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”．

(1)、写出集合 $A_{(2, 2)}$ 的所有“典范子集”；

(2)、设集合 $A_{(2, 3)}$ 的子集 $T_{1}, \cdot \cdot \cdot, T_{s}$ 均不是集合 $A_{(2, 3)}$ 的“典范子集”，且 $T_{1} \cup \cdot \cdot \cdot \cup T_{s} = A_{(2, 3)}$ ，求s的最小值；

(3)、若集合 $A_{(n, k)}$ 的任意元素个数为m的子集都是集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）．

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11、设三角形 $A B C$ 满足 $b (1 - \cos C) = c \cos B$ ，其中 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边．

(1)、证明： $A C = B C$ ；

(2)、设三角形 $A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 靠近 $A$ 的三等分点，且 $A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，将三角形 $A B C$ 向上翻折（如图），若平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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12、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (x - b) (a, b \in R, a < b)$ .

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点， $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，且 $x_{3} \neq x_{1}, x_{3} \neq x_{2}$ .是否存在实数 $x_{4}$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求 $x_{4}$ ；若不存在，说明理由.

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13、小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.

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14、小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是．

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15、在一个大球内放入4个完全相同的小球，任意两个小球都彼此相切，且它们都和大球相切，若每个小球的半径都是1，则大球的表面积为．

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16、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的图象为双曲线，则其焦点坐标为．

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17、对于函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，下列说法中正确的是（）

A、有三个零点 B、零点均分布在 $[- 2, 2]$ 内 C、零点为 $2 \cos 40 °$ ， $2 \cos 80 °$ ， $2 \cos 160 °$ D、零点为 $2 \cos 50 °$ ， $2 \cos 70 °$ ， $2 \cos 140 °$

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18、设集合 $S = \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10\}$ ， A是S的一个子集．若对任意 $a_{i}$ ， $a_{j} \in A (a_{i} \neq a_{j})$ 总有 $|a_{i} - a_{j}| \notin A$ ，则A中元素个数的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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19、设函数 $f (x) = \log_{x} (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 在定义域上单调递减 C、 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为 $- \frac{1}{2}$ D、 $\sum_{n = 100}^{9999} \log_{2} f (n) = 1$

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20、下表反映了12月份（共21个工作日）中，李华同学在每天的数学课上携带教材的情况，以及数学课上坐在李华同桌位置的同学，只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌．

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
教材	无	有	有	无	有	有	无	有	有	无	无
同桌	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	梓晴	梓晴	陈伟
日期（续）		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
教材（续）		有	有	有	无	无	有	有	无	无	有
同桌（续）		刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞

从表格信息，我们可以推断（）：（附： $χ^{2} = \frac{N {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ）

A、有不小于95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 B、有不小于99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 C、有不小于95%的把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材 D、若强制刘瑞或陈伟与李华同桌，可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率

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