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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，点 $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $A M = M B, C_{1} N = 2 N C$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{21}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{21}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$

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2、设集合 $A$ 由全体二元有序实数组组成，在 $A$ 上定义一个运算，记为 $⊙$ ，对于 $A$ 中的任意两个元素 $α = (a, b), β = (c, d)$ ，规定： $α ⊙ β = (a d + b c, b d - a c)$ .

(1)、计算： $(2, 3) ⊙ (- 1, 4)$ ；

(2)、 $\forall α, β \in A$ ，是否都有 $α ⊙ β = β ⊙ α$ 成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；

(3)、若“ $A$ 中的元素 $I = (x, y)$ ”是“对 $\forall α \in A$ ，都有 $α ⊙ I = I ⊙ α = α$ 成立”的充要条件，试求出元素 $I$ .

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3、二次函数 $y = x^{2} + (a - 1) x + 1 (a > 0)$ 只有一个零点，则不等式 $a x^{2} - 8 x - a \geq 0$ 的解集为.

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4、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 > 0$ ”的否定是.

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5、狄利克雷是德国著名数学家，函数 $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数 $D (x)$ 的结论中正确的是（）

A、 $D (x)$ 为偶函数 B、 $D (D (x))$ 为偶函数 C、 $\exists x \in R$ ，使得 $D (D (x)) = 0$ D、 $\forall x, y \in R, D (x + y) = D (x) + D (y)$

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6、（多选）如图所示的电路中，“开关 $S$ 闭合”是“灯泡 $L$ 亮”的充要条件的电路图是（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知集合 $A = \{2, 3, 4\}$ ，集合 $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则集合 $B$ 可能为（）

A、 $\{1, 2, 5\}$ B、 $\{2, 3, 5\}$ C、 $\{0, 1, 5\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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8、若关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - 5 x + m \leq 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{2}]$ B、 $(- \infty, - \frac{5}{2})$ C、 $[- \frac{5}{2}, 0)$ D、 $(- \frac{5}{2}, 0)$

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9、下列四种说法：
（1）若函数 $f (x)$ 在 $(5, + \infty)$ 上是增函数，在 $(- \infty, 5)$ 上也是增函数，则 $f (x)$ 在 $(- \infty, 5) \cup (5, + \infty)$ 上是增函数；
（2）若函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 2$ 与 $x$ 轴没有交点，则 $b^{2} - 8 a < 0$ 且 $a > 0$ ；
（3）函数 $y = x^{2} - 2 | x | - 3$ 的单调递增区间为 $[1, + \infty)$ ；
（4） $y = 1 + x$ 和 $y = \sqrt{{(1 + x)}^{2}}$ 是相同的函数.
其中正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、若函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{1 - m}$ 为幂函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、3 C、 $- 2$ 或3 D、2或 $- 3$

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11、不等式 $\frac{x - 4}{x - 1} \geq 2$ 的解集是（）

A、 $\{x |- 2 \leq x \leq 1\}$ B、 $\{x |x \leq - 2\}$ C、 $\{x |- 2 \leq x < 1\}$ D、 $\{x |x > 1\}$

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12、《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（）

A、5 B、10 C、6 D、9

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13、下列命题中，正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b$ ，则 $a + c > b + c$

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14、对于定义在实数集 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，给出如下的三个定义：
①记 $f^{(1)} (x) = f (x)$ ， $f^{(2)} (x) = f (f (x))$ ， $f^{(3)} (x) = f (f (f (x)))$ ， $\dots$ ， $f^{(n + 1)} (x) = f (f^{(n)} (x))$ ，其中 $n = 1, 2, 3, \dots$ .
②对任意的区间 $A \subseteq R$ ，记集合 $f^{(n)} (A) = \{f^{(n)} (x) ∣ x \in A\}$ ，并规定 $f^{(n)} (\emptyset) = \emptyset$ .
例如：若 $f (x) = x + 1$ ，则 $f^{(2)} ([1, 2]) = [3, 4]$ ；
③若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足对任意的区间 $I \subseteq R$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $f^{(k)} (I) \cap I \neq \emptyset$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $I$ 上的“ $k$ 阶交汇函数”.

(1)、若函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ ，求 $f^{(2)} (x)$ ；

(2)、若 $f (x) = 4 x + 3$ ，求 $f^{(2)} ([- 1, 0])$ 并判断 $f (x)$ 是否为 $[- 1, 0]$ 上的“2阶交汇函数”；

(3)、设 $a \in (0, 1)$ ，若 $f (x) = \{\begin{cases} x + (1 - a), x \leq a \\ x - a, x > a \end{cases}$ ，试证明对任意的区间 $I \subseteq (0, 1]$ ，总存在正整数 $k$ ，使得 $f (x)$ 为 $I$ 上的“ $k$ 阶交汇函数”.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{2 \times 3^{x}}{3^{x - 1} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、判定函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) - m^{2} - 5 m > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需另外增加成本100元，公司每月生产量为 $x$ （单位：台），已知营业额 $R$ （单位：元）满足函数： $R = \{\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2} - 15000, 0 \leq x \leq 200 \\ 170000 - \frac{25000000}{x}, x > 200 \end{array}$

(1)、将每月投入的总成本 $Q$ 表示为月产量 $x$ 的函数；

(2)、将每月利润 $P$ 表示为月产量 $x$ 的函数（利润=营业额-总成本）；

(3)、当月产量 $x$ 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？

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17、已知幂函数 $f (x) = x^{- 3 n^{2} + 9} (n \in N)$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = \sqrt[3]{f (x)} + 2 t x + 3$ ；
（i）若 $x \in R$ ，试讨论 $|g (x)|$ 的最小值；
（ii）若函数 $y = g (x)$ 定义在区间 $[2, 6]$ 上，试求 $g (x)$ 的最小值 $G (t)$ .

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18、设集合 $A = \{x |x^{2} - 8 x + 12 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 2 (a + 1) x + a^{2} - 13 = 0\}$ .

(1)、若 $A \cap B = \{2\}$ ，求 $a$ 的值及集合 $A, B$ ；

(2)、若 $R$ 为实数集，且 $(∁_{R} A) \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知集合 $A = [t, t + 2] \cup [t + 4, t + 8]$ ，其中 $t > 0$ .若存在正数 $λ$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $\frac{λ}{a} \in A$ ，则 $t$ 的取值集合为.

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20、设 $x$ ， $y \in R$ 且满足 $\{\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2025} + 2025 x = 2024 \\ {(y - 1)}^{2025} + 2025 y = 2026 \end{array}$ ，则 $x + y =$ .

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