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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (3, 1)$ ，则 $| 3 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2、已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{1} z_{2}$ 的模 $|z_{1} z_{2}|$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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3、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 1, 2\}, B = \{x ∣ 3^{x} < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 2\}$

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4、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $E$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，且 $E$ 为 $O B$ 的中点.

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、斜率不为0的动直线 $l$ 过点 $E$ 交椭圆 $G$ 于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $M$ ，直线AD，BC交于点 $N$ .
（i）设直线 $B C$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} k_{2}$ 为定值；
（ii）以 $M N$ 为直径的圆被 $x$ 轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.

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5、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2} - k x^{3}$ ，其中 $0 < k < \frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 的极值点和零点.
（i）设函数 $g (t) = f (x_{1} + t) - f (x_{1} - t)$ .证明： $g (t)$ 在区间 $(0, x_{1})$ 单调递减；
（ii）比较 $2 x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的大小，并证明你的结论．

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6、杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：
市外游
市内游
合计
男生
14
6
20
女生
8
12
20
合计
22
18
40

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联；

(2)、在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．
①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为 $\frac{4}{5}$ ；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率；
②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ ，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为 $Q_{n}$ ，求数列 $\{Q_{n}\}$ 的通项公式．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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7、如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B$ $∥$ $C D$ ， $C D = 2 A B = 2 E F = 4$ ， $H$ 为直线 $A E$ 上的点．

(1)、证明：四边形 $A B F E$ 为平行四边形；

(2)、已知 $D E = \sqrt{5}, C F = \sqrt{13}$ ．
（i）求 $\cos ∠ E F C$ ；
（ii）若 $A D = D E, A F = 2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $C - B F - H$ 的余弦值．

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8、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $A B = A_{1} B, A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高．

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9、已知直线 $l : a x - b y - 2 c = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 6 y + 8 = 0$ 交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则 $|A B|$ 的取值范围是．

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10、在 $(a x - 1) {(2 x - 1)}^{3}$ 的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的 $x^{2}$ 系数为．

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11、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3})$ （ $0 < ω < 1$ ），且满足 $f (x) \geq f (- \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 6)$ 上单调递增 C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = - f (\frac{4 π}{3} - x)$ D、将 $f (x)$ 的图像向右平移 $2 π$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，那么 $f (x) \cdot g (x) \leq 0$

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12、已知命题p“ $\forall x \in R, (a + 2) x^{2} - 2 a x + 1 < 0$ ”，若命题P为假，则a的取值范围为（）

A、R B、(- $\infty$ ， -2） C、（- $\infty$ ， -2] D、（- $\infty$ ， -1]U[2，+ $\infty$ )

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13、已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ．函数 $g (x)$ 图象与 $f (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．

(1)、求 $g (x)$ 的表达式．

(2)、若函数 $y = g (x^{2} - 2 t x + 1)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $t$ 的取值范围．

(3)、不等式 $g (a^{2} x) > 2 g (x + 2 a - 6)$ 在 $x \in [4, 16]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{array}{l} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{array}$ ；已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且在 $t = 10$ 处函数图象是连续不断的.

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}, t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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15、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 3 m + 1} (m \in R)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减， $g (x) = f (x) + a x - 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $g (x)$ 的表达式并直接写出 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调区间．

(2)、若 $g (x)$ 在 $[1, 3]$ 上的最小值为 $2$ ，求 $a$ 的值．

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16、（1）计算 ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} + \lg 8 + \sin \frac{4 π}{3} - \lg \frac{1}{125} + \tan \frac{7 π}{4}$
（2）设 $\tan α = - \frac{1}{2}$ ，计算 $\frac{1}{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α + \sin α \cos α}$ 的值

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17、函数 $f (x) = x \log_{a} x - 3$ 的零点为 $x_{1}$ ，函数 $g (x) = x \cdot a^{x} - 3$ 的零点为 $x_{2}$ ，其中 $a \geq 3$ ．则 $2 x_{1} + 4 x_{2}$ 的最小值为.

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18、已知 $\cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{17 π}{6}) =$ .

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19、函数 $y = \log_{a} (2 x - 3) + 5 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点.

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20、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x - 1)$ 为偶函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - | x |$ ，则（）

A、 $f (2026) = - 1$ B、 $f (x)$ 在 $[2, 3]$ 上单调递减 C、 $y = f (x + 5)$ 为奇函数 D、方程 $f (x) = \lg | x |$ 有且仅有 $8$ 个不同的实数解

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	市外游	市内游	合计
男生	14	6	20
女生	8	12	20
合计	22	18	40

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828