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相关试卷

1、已知 $i$ 是虚数单位．复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ．则 $z$ 在复平面内对应点的坐标是（）

A、 $(1, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(1, 1)$

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2、设全集 $U = R, A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}, B = \{x |x \geq 2\}$ ．则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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3、若数列 ${a_{n}}$ （ $1 \leq n \leq k$ ， $n \in N$ ， $k \in N$ ）满足 $a_{n} \in {0, 1}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为k项 $0 - 1$ 数列，集合 $M_{k}$ 是由所有k项 $0 - 1$ 数列组成的集合，从集合 $M_{k}$ 中任意取出两个不同数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 记变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$

(1)、当 $k = 2$ 时，求集合 $M_{2}$ ；

(2)、若 $k = 3$ ，求随机变量X的分布列与数学期望；

(3)、求 $P (X = m)$ ，其中 $m = 1, 2, \dots, k$ 且 $m \in N$ ．

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4、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点为A，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为 $△ A M N$ 的外心．
①若 $△ A M N$ 为等边三角形，求PA的长；
②若点P在直线 $x = - \frac{1}{3}$ 上，求点A到直线l距离的最大值．

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5、已知函数 $f (x) = e^{a x} \ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ ，求a的值；

(2)、若 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，试比较 $f (x_{0})$ 与 $- e$ 的大小．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 1$ ，且 $b \cos A - \cos B = 1$ ．

(1)、若 $C = \frac{π}{4}$ ，求A；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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7、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \log_{2} \frac{n + 2}{n + 1}$ ，给出定义：使数列 ${a_{n}}$ 的前k项和为正整数的k（ $k \in N^{*}$ ）叫做好数，则在 $[1, 2025]$ 内的所有“好数”的和为．

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8、设实数 $f (x) = 2 x \ln x$ ， $g (x) = a x - 4$ ， $\exists x \in (0, + \infty)$ 使 $f (x) \leq g (x)$ 成立，则实数α的取值范围．

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9、二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项是．

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10、若函数 $f (x) = - a \ln x + \frac{x^{2} - 1}{2}$ 有两个零点，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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11、已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 8 = 0$ 的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l： $x + y + 4 = 0$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则 $d_{1} d_{2}$ 的最大值为（）

A、16 B、32 C、48 D、64

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12、函数 $f (x) = \cos 2 x - \sin x$ 在 $(- 2 π, 2 π)$ 内的零点之和为（）

A、 $- π$ B、 $- 2 π$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、0

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13、已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点M在C上，若M到直线 $x = - 3$ 的距离为5，则 $| M F | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、已知向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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15、已知i为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是实数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 6\}, B = \{x \in Z |- 2 < x \leq e, e \approx 2.71828\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a (\sqrt{3} \sin B + \cos B) = b + c$ ．

(1)、求角 $A$ ．

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D = 2$ ．
①若 $B D = 2 D C$ ，求当 $B C$ 取最小值时 $\frac{c}{b}$ 的值；
②若 $A D$ 为角平分线，求 $A B + 3 B D$ 的取值范围．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，且 $A B = 2$ ，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 1$ ， $E$ 为 $P C$ 中点．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - B E D$ 的体积；

(3)、求二面角 $P - B D - E$ 的平面角的大小．

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求它的对称中心的坐标；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $m (0 < m < \frac{π}{2})$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图像， $g (x)$ 为偶函数，求函数 $y = f (x) g (x) + \frac{3}{4}$ 的单调递减区间．

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20、已知向量 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ .

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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