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相关试卷

1、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D / / B C$ 且 $A B ⊥ A D$ ， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 的面积等于 $12 \sqrt{2}$ ， E是PD是中点.
（Ⅰ）求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；
（Ⅱ）若 $P B = 4 \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ P A D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（i）求证： $A D ⊥ P C$ ；
（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C$ ，若二面角 $P - A B - C$ 的大小为30°， $A B ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ， $P C = 1$ ， $M$ 是 $P A$ 上靠近点 $A$ 的三等分点， $N$ 是 $P B$ 上的一点，且 $P B = 4 P N$ .

(1)、求直线 $B C$ 与直线 $P A$ 所成角的余弦值；

(2)、求三棱锥P－MNC的体积.

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3、神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间 $[50, 110]$ 内．现将成绩分成6组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80,90)$ ， $[90, 100)$ ， $[100, 110]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛.

(1)、求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）；

(2)、复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有 $\frac{2}{3}$ 的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有 $\frac{4}{5}$ 的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有 $\frac{2}{3}$ 的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{10}$ ．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正项，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，若对 $\forall n \in N *$ 总 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ 使不等式 $\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}} + \frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}} + + \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} - \sin x - \sqrt{3} \cos x - λ \leq 0$ 成立，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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5、已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是.

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6、北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩 $x \in [0, 15]$ ，且 $x \in N^{*}$ ，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）

A、13 B、12 C、11 D、10

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7、下列四个命题中正确命题的个数是（）
①如果 $a$ ， $b$ 是两条直线， $a // b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a // α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a // b$ ， $a // α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b // α$ ；
④如果 $a$ 与平面 $α$ 上的无数条直线平行，那么直线 $a$ 必平行于平面 $α$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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8、设 $x, y \in R$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2), \overset{⇀}{b} = (3, y),$ $\overset{⇀}{c} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{c}, \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c},$ 则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ 等于

A、 $5$ B、 $4$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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10、在平面直角坐标系xOy中，利用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{array}$ ①（其中a，b，c，d为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $x y = 3$ 通过二阶矩阵 $(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})$ 进行线性变换后得到双曲线C．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线 $l_{2}$ 是过C的右支上点P的切线，且 $l_{2}$ 不与x轴垂直， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，过 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ．
①求证：点 $T_{1}$ ， $T_{2}$ 均在以O为圆心的定圆上，且 $O T_{1} ∥ P F_{2}$ ， $O T_{2} ∥ P F_{1}$ ；
②求证： $| F_{1} T_{1} | \cdot | F_{2} T_{2} |$ 是定值．

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11、如图，已知圆E： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $F (1, 0)$ ， P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．

(1)、求动点Q的轨迹C的方程；

(2)、设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与 $C$ 交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围．

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12、已知圆C过点 $A (- \sqrt{15}, 1)$ 和 $B (2 \sqrt{3}, 4)$ ，且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l过点 $P (2, 0)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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13、已知点 $P (- 2, 3, 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，则 $|P P_{2}| =$ .

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， M，N分别是AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，Q为线段 $A_{1} N$ 上的动点（包含线段的端点），K为平面 $A_{1} B C$ 上的动点，则以下说法正确的是（）

A、三棱锥A-QBC的体积为定值 B、Q为线段 $A_{1} N$ 的中点时，异面直线PQ与 $A_{1} B$ 所成角为30° C、若 $P Q ∥ 平面 A_{1} C M$ ，则 $\frac{N Q}{A_{1} Q} = \frac{2}{3}$ D、若K是平面 $A_{1} B C$ 上一动点，则 $| P K | + | K Q |$ 的最小值为 $\frac{5}{3}$

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15、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (b > 0)$ 的公共焦点，点 $P$ 是两曲线的一个交点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $a > b$ B、 $e_{1} e_{2} < 1$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形 D、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 是个定值

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16、在 $△ A B C$ 中， $A C = 7 ， B C = 4 ， \vec{A D} = 2 \vec{D B} ， C D = \sqrt{19}$ ，则 $B D =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (3, 1, - 1)$ ， $C (2, 2, - 2)$ ，点 $P (- 1, y, 1)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $y$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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18、如图，在几何体 $P － A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形，且 $A B // D C$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是等边三角形，已知 $B D = 2 A D = 4$ ， $A B = 2 D C = 2 B C = 2 \sqrt{5}$ ，点M为棱 $P C$ 上的一点.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求二面角 $A － P B － D$ 的余弦值.

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19、今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间 $[50, 100]$ ，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件 $A =$ “至少有1人测试成绩位于区间 $[90, 100]$ ”，求在②的条件下事件A的概率．

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20、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $|A B| = |B C| = \frac{1}{2} |P A|$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点，且 $O P ⊥$ 底面 $A B C$ ，则直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为.

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