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相关试卷

1、如图， $A$ 、 $B$ 两点在河的两岸，为了测量 $A$ 、 $B$ 之间的距离，测量者在 $A$ 的同侧选定一点 $C$ ，测出 $A$ 、 $C$ 之间的距离是 $100 m$ ， $∠ B A C = 105 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离为（） $m$ ．

A、50 B、 $50 \sqrt{2}$ C、100 D、 $100 \sqrt{2}$

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2、已知 $sin α = - \frac{3}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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3、如图，正方形 $A M N D$ 和正方形 $B M N C$ 有公共边，与向量 $\vec{A N}$ 相等的向量为（）

A、 $\vec{D M}$ B、 $\vec{M C}$ C、 $\vec{N B}$ D、 $\vec{A D}$

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4、 $cos 36 ° cos 6 ° + sin 36 ° sin 6 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数 $y = f (x)$ 满足如下条件：①在闭区间 $[a, b]$ 上的图象是连续的；②在开区间 $(a, b)$ 上可导，则在开区间 $(a, b)$ 上至少存在一个实数 $ξ$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (ξ)$ 成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.

(1)、已知 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} + m ln x, \forall a, b \in (1, 3)$ 且 $a < b$ ，
（i）若 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（ii）当 $- 1 \leq m < 0$ 时，求证： $\frac{2 f (a) + f (b)}{3} > f (\frac{2 a + b}{3})$ .

(2)、已知函数 $g (x) = x ln \frac{a e^{x}}{x} + a e^{x} - x (a > 0)$ 有两个零点，记作 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $0 < 2 x_{1} < x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + 2 x_{2}} > 32$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 3}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{9}{10}$ .

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7、 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中，常数项为.

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8、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x - 2) - f (- 2)}{Δ x} < 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 有最大值

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9、已知 $A, B$ 分别为曲线 $y = e^{x} + x + 1$ 和直线 $y = 2 x - 3$ 上的点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{3} + 2 x f^{'} (1) - \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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11、某物体的位移 $y$ (单位： $m$ )与时间 $t$ (单位： $S$ )满足函数关系式 $y = a \sin t - t$ ，其中 $a$ 为常数.若当 $t = 0$ 时，该物体的瞬时速度为 $1 m / s$ ，则当 $t = \frac{π}{2}$ 时，该物体的瞬时速度为（）

A、 $1 m / s$ B、 $- 1 m / s$ C、 $\sqrt{3} - 1 m / s$ D、 $\sqrt{3} + 1 m / s$

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12、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 2$ 与抛物线 $E$ 交于点 $R$ ，且 $|R F| = \frac{5}{2} p$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，这两条直线与抛物线E分别交于点 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，其中点 $A$ ， $C$ 在第一象限．
（ⅰ）设 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，H为直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ H M N$ 面积的最小值；
（ⅱ）过F作x轴的垂线，分别交 $A C$ ， $B D$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，判断是否存在以 $P Q$ 为直径的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有唯一零点，求a的取值范围；

(3)、若 $p, q > 0$ ，且 $q e^{\frac{1}{p}} = p e^{- \frac{1}{q}}$ ，证明： $p - q > 2$ ．

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P B = P D = A B = A D = 2$ ， $B C = 1$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值．

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15、袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回.

(1)、第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率；

(2)、第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布列及数学期望.

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 c - b) \cdot \cos A = a \cdot \cos B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $b + c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17、在 $4 \times 4$ 的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为．

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18、设直线 $2 x - y = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m y + 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 2$ ，则实数 $m$ 的值为．

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19、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{5} = 6$ ， $2 a_{3} + a_{4} = 8$ ，则 $S_{10} =$ ．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点 $A (1, 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为6 B、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ 时， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{6}$ C、 $△ F_{1} P A$ 周长的最小值是 $3 + \sqrt{5}$ D、 $△ F_{1} P A$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$

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