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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x}, & x \leq 0 \\ \frac{x}{1 + i}, & x > 0 \end{matrix}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} i$ B、 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n + 4$ ，则数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 的公比是（）

A、2 B、6 C、8 D、16

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3、已知函数 $f (x) = \frac{x^{a + 3} + 4}{x^{2 a}} (a > 0, b \in R)$ 是定义在 $[- 4 a, 0) \cup (0, b]$ 上的偶函数， $f (2) = 5$ .

(1)、求 $a, b$ 的值及 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, b)$ 上的单调性（要求写出单调区间），用定义证明单调性；

(3)、若 $t^{2} - 2 t + 1 < f (x)$ 在定义域内恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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4、某工厂对甲产品进行促销活动，甲产品的年销售量（该厂的年产量为年销售量） $x$ 万件与促销费用 $t (t \geq 0)$ 万元满足 $x = \{\begin{cases} 10 - \frac{24}{25 (t + 2)}, t \geq 10 \\ - \frac{2}{5} t^{2} + \frac{101}{25} t - \frac{4}{5}, 0 \leq t < 10 \end{cases}$ .已知生产甲产品的固定投入为9万元，每生产1万件甲产品需要再投入25万元，工厂将甲产品的销售价格定为甲产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，甲产品年平均成本 $= \frac{固定投入资金 + 再投入资金}{产品年产量}$ ）．

(1)、写出甲产品的年利润 $y = f (t)$ 关于年促销费用 $t$ 的函数；

(2)、该工厂投入年促销费用多少万元时，该工厂的利润最大？

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + t - 1, t \in R$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 解集为 ${x ∣ b < x < 3}$ ，求 $t, b$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + t > 0$ .

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6、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} + 2 x - 8 \leq 0\}, B = {x ∣ 1 - a \leq x \leq 3 a + 2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A, A \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 的图象过点 $(1, 3)$ ，且与坐标轴围成的三角形面积为2，记所有满足条件的 $a$ 值组成集合 $S$ ；函数 $f (x) = | x - 1 |$ ，若对任意 $s \in S$ ，不等式 $f (f (s x)) \leq 2$ 恒成立，则实数 $x$ 的取值范围是.

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8、若 $f (x) = x + \sqrt{1 - x}$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为.

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9、定义 $\max \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), g (x) > f (x) \end{array}$ ，函数 $M (x) = \max \{|x^{2} - 4 x + 3|, x - 2\}$ ，下列选项中正确的有（）

A、函数 $M (x)$ 的单调递增区间为 $(1, 2), (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, + \infty)$ B、若方程 $M (x) = m$ 有3个不相等的实数根，则 $m = 1$ C、若 $M (x)$ 在区间 $[a, b]$ 内的最大值为1，则 $b - a$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ D、存在不唯一的非负实数对 $(p, q)$ ，使得 $M (x)$ 在 $[p, q]$ 上的值域也为 $[p, q]$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, & x \geq 0 \\ - \frac{1}{x}, & x < 0 \end{array}$ ，则 $f (x) = 1$ 的解是（）

A、-1 B、0 C、2 D、3

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11、已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、-10 B、6 C、-6 D、10

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12、命题“ $\exists x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} < 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} \geq 3$ B、 $\forall x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} < 3$ C、 $\exists x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} \geq 3$ D、 $\exists x \notin (1, 2), x + \frac{1}{x} < 3$

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13、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 5}$ 的定义域是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[- 5, + \infty)$ C、 $[- 1, 5) \cup (5, + \infty)$ D、 $(- 1, 5) \cup (5, + \infty)$

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14、下列函数中，在定义域内为减函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = - \sqrt{x}$ D、 $y = x + \frac{1}{x}$

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15、已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 3}, B = {x ∣ 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ D、 ${x ∣ 2 < x \leq 3}$

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d \neq 0$ ， $\{a_{n}\}$ 中的部分项 $a_{k_{1}}, a_{k_{2}}, \dots \dots, a_{k_{n}}$ 恰为等比数列，且公比为 $q$ ，若 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 6$ ， $k_{3} = 16$

(1)、求 $q$ ；

(2)、求数列 $\{k_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项之和.

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17、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，由 $C$ 的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $N (0, 3)$ ，过点 $M (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $A$ ， $B$ ．证明： $k_{N A} + k_{N B} = 0$ ．

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18、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，且长轴长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过椭圆 $C$ 的右焦点 $F (1, 0)$ 作倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆相交于 $M$ ， $N$ 两点，求线段 $M N$ 的长．

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19、在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 、 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．

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20、若函数 $y = \frac{a^{x} + 1}{2^{x}}$ 为偶函数，则正实数 $a$ 的值为．

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