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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{4}{3}$ ， $9 a_{n + 1} = 6 a_{n} - a_{n - 1} (n \geq 2)$ ， $a_{n} = \frac{b_{n}}{3^{n - 1}} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ，并证明： $S_{n} \geq 1$ .

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2、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2, 6 S_{n} = (a_{n} + 2) (a_{n} + 1)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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3、某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$

(1)、试估计这1000名用户评分的平均分；

(2)、若采用分层随机抽样的方法从评分在 $[40, 50), [50, 60)$ 内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在 $[40, 50)$ 内的概率.

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4、正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 3$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{10}} =$ ．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n}} = 1, n \in N^{*}$ ，则（　　）

A、 $a_{2022} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2022} = 1011$ C、 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{2022} = - 1$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \dots + a_{2022} a_{2023} = - 1011$

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7、如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $S_{7} = 84$

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8、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $T_{n}$ 为等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项积，且 $a_{4} = b_{4} = 2$ ，则（）

A、 $a_{3} a_{5} = b_{3} + b_{5}$ B、 $a_{3} + a_{5} = b_{3} b_{5}$ C、 $S_{7} = 14$ D、 $T_{7} = 128$

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9、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不等于1的等比数列，且 $\lg a_{1} + \lg a_{2023} = 0$ ，若 $f (x) = \frac{2}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{2023})$ 等于（）

A、2022 B、4036 C、2023 D、4038

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10、将函数 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{7 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{4}$

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11、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{11} = 121$ ，则 $a_{5} a_{7}$ 的最大值为（）

A、11 B、12 C、121 D、144

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12、已知在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} \cdot a_{5} = 16$ ， $a_{4} = 8$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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13、已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4, a]$ $(a > - 4)$ 上的最小值.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1} (x \neq 1)$ ．
(1)证明 $f (x)$ 在(1，+∞)上是减函数；
(2)当 $x \in [3, 5]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值和最大值．

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15、某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是．

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16、若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{x - | a - x |}$ 为偶函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 5$ B、 $a > 5$ C、 $- 5 \leq a \leq 5$ D、 $a \leq - 5$ 或 $a \geq 5$

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17、函数 $f (x) = - \frac{1}{x - 2}$ 的单调增区间是（）.

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 2) \cup$ $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$ ， $(2, + \infty)$

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18、已知圆M过点 $(- \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 且与圆 $N : x^{2} + 8 x + y^{2} - 1 = 0$ 为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.
（1）若直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + m$ 被圆M截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求m的值；
（2）设直线 $l : y = k x + 3$ 与圆M交于点A，B，记 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} x_{2} + (y_{1} + 1) (y_{2} + 1) = 12$ ，求k的值.

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为梯形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, ∠ B A D = ∠ C D A = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 1$ ， $C D = 2, E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - E$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，求 $P D$ 的长.

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 3 (n + 1) a_{n}$ ．
（1）设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；
（2）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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