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相关试卷

1、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ 有两个实数根，一个根比 $1$ 小，另一个根比 $1$ 大，则实数 $m$ 的取值范围为.

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2、已知扇形的半径为1，圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则该扇形的弧长为.

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3、已知 $f (x) = \sin 3 x - \sin 2 x$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的两个零点，则（）

A、 $\sin x_{1} \cdot \sin x_{2} > \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\cos x_{1} \cdot \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$ C、 $\sin x_{1} + \sin x_{2} < \frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

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4、下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = |x|$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x + 1$ D、 $f (x) = - x$

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5、已知实数 $a, b, c$ 满足 $2^{a} = 3^{b - 1} = 5^{c - 2}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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6、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

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7、“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 1 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、函数 $f (x) = 2^{x}$ 与 $g (x) = \log_{2} x$ 的图象关于（）

A、 $x$ 轴对称 B、 $y$ 轴对称 C、坐标原点对称 D、直线 $y = x$ 对称

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9、下列函数中，与函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 有相同定义域的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $y = \sqrt{- x}$

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10、已知集合 $A = \{2, 3, 4\}, B = \{x |1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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11、已知函数 $f (x) = x + \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = x^{2} + (2 a + 3) x + a$ 只有一个公共点，求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = 2 x - m$ 有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
①求实数 $m$ 的范围，试比较 $x_{1} + \frac{1}{x_{1}}$ 与 $x_{2} + \frac{1}{x_{2}}$ 的大小关系，并说明理由；
②证明： $\ln (n + 1) < \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ .

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12、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的一个极值点是 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 内不单调，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2 x + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(a, a + 4)$ 上存在最大值，求实数 $a$ 的范围；

(3)、过点 $(0, m)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求实数 $m$ 的范围.

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14、已知 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中按 $x$ 的降幂排列的第3项；

(3)、求展开式中项的系数最大的项.

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15、（1）求值：① $A_{4}^{1} + A_{4}^{2} + A_{4}^{3} + A_{4}^{4}$ ；
② $C_{9}^{1} + C_{9}^{3} + C_{9}^{5} + C_{9}^{7} + C_{9}^{9}$ .
（2）求证： $(n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 1}^{m + 1}$ ；

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16、若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是，其中能被3整除的“凹数”的个数是.

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17、曲线 $y = \sin x$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为.

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18、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”第6行中，从左到右第3个数是20 B、在“杨辉三角”中，第10行的所有的数字之和为1024 C、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} \cdot a_{i} = 3^{n}$ D、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行所有数字的平方和恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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19、若函数 $f (x) = e^{x + m} - \ln x$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m > - 1$ C、 $m \geq 0$ D、 $- 1 \leq m < 0$

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20、 $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $a$ ， ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为 $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 15$ B、75 C、135 D、165

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