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相关试卷

1、某公司生产电子仪器的固定成本为180000元，每生产一台仪器需增加投入200元，通过对该公司今年的生产经营状况的调查，得到总收入 $R$ （单位：元）与月产量 $x$ （单位：台）（受场地及生产规模等的影响，故 $x \leq 1700$ ）的部分数据如下表：
$x$
200
700
1000
$R$
240000
415000
400000

(1)、根据上表中的数据，从 $R = a {log}_{b} x + c (b > 0$ 且 $b \neq 1)$ ， $R = a x^{2} + b x + c$ ， $R = a \cdot b^{x} + c (b > 0$ 且 $b \neq 1$ ）（这里的 $a, b, c$ 都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述 $R$ 与 $x$ 的变化关系，并说明理由；

(2)、利用表中的数据求出（1）中选择的函数模型，并由此模型求：
（i）当月产量为多少时，总收入 $R$ 最大？最大值为多少？
（ii）当月产量为多少时，每件产品的利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收入-总成本）

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2、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = \frac{1}{2} {log}_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)、当一条鱼的游速是 $3 m / s$ 时，它的耗氧量是多少个单位？

(2)、现有甲､乙两条鲑鱼均由 $A$ 地向 $B$ 地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？

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3、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $(f (x) + 9) (f (x) - 5) > 0$ ，求 $x$ 的取值集合.

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4、已知集合 $A = {x ∣ 1 < 2 x - 1 < 9}$ ，集合 $B = \{x ∣ x^{2} - 16 > 0\}$ ，集合 $C = \{x |\frac{x + 6}{x - 3} > 0\}$ .

(1)、求 $A \cap B, B \cup C$ ；

(2)、已知命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，命题 $r : x \in C$ ，若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求 $x$ 的取值范围.

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5、已知二次函数 $f (x) = k x^{2} - 2 x + 3$ 在 $[2, 3]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围为.

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6、已知 ${log}_{a} 3 > 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7、设 $f (x) = \frac{1 - x^{4}}{1 + x^{4}}$ ，则 $\forall x \in R$ ，且 $x \neq 0, f (- x) + f (\frac{1}{x}) =$ .

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8、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (4 + x) = - f (x)$ ，且 $y = f (4 - x)$ 为偶函数，在区间 $(0, 2)$ 上，对 $\forall x_{1} \neq x_{2}$ 有 $(f (x_{1}) - f (x_{2})) (x_{1} - x_{2}) < 0$ ，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(2, 0)$ 成中心对称 B、当 $x \in (- 2, 2)$ 时， $f (x) > 0$ C、在区间 $(12, 16)$ 上， $f (x)$ 为减函数 D、 $f (7) < f (1)$

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9、与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称的函数为（）

A、 $y = {log}_{4} x^{2}$ B、 $y = {log}_{8} x^{3}$ C、 $y = \frac{lg x}{lg 2}$ D、 $y = {log}_{2} x^{\frac{1}{3}} + {log}_{2} x^{\frac{2}{3}}$

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10、已知函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
$x$
-2
-1
0
1
2
3
$y$
16.1
-0.01
-4.92
-5.5
2.4
-3.2
则函数 $y = f (x)$ 一定有零点的区间为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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11、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (7 - a) x + 2, x \leq 0 \\ {(a - 4)}^{x - a + 1} + 2, 0 < x \leq a \\ {log}_{(a - 3)} (x - a + 1) + 4, x > a \end{array}$ 单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, 6]$ C、 $(5, 7)$ D、 $(5, 7]$

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12、已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 2 b = 3$ ，若不等式 $\frac{2}{a} + \frac{4}{b} \geq m^{2} - 5 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 6, 1]$ B、 $[- 6, 3]$ C、 $[- 1, 6]$ D、 $[- 1, 8]$

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13、已知函数 $f (x) = 5^{x} + 5 x, g (x) = {log}_{5} x + 5 x, h (x) = x^{3} + 5 x$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则 $a, b, c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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14、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，则 $a^{3} + a^{- 3} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、6

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15、下列命题为真命题的是（）

A、“ $8^{a} > 8^{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 B、“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $a > b$ ”的必要不充分条件 C、“ $a > b$ ”是“ ${(\frac{1}{3})}^{a} > {(\frac{1}{3})}^{b}$ 成立”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $ln a > ln b$ 成立”的必要不充分条件

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16、在 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2}, 3^{- \frac{1}{3}}, {(\frac{1}{3})}^{- 1}, {(- 3)}^{- 1}$ 中，最大的数是（）

A、 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ B、 $3^{- \frac{1}{3}}$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{- 1}$ D、 ${(- 3)}^{- 1}$

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17、已知集合 $A = \{x ∣ y = {log}_{2} (x + 1)\}, B = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $\emptyset$

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18、已知命题 $p : \forall x > 0, e^{x} > 3$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0, e^{x} \leq 3$ B、 $\forall x \leq 0, e^{x} \leq 3$ C、 $\exists x > 0, e^{x} \leq 3$ D、 $\exists x \leq 0, e^{x} \leq 3$

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19、如图，在矩形ABCD中， $| A B | = 2 a, | B C | = 2 b (a > b > 0), E, F, G, H$ 分别是矩形四条边的中点，点 $M_{i}, N_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 分别是OF，CF的 $n (n \geq 2)$ 等分点，直线 $E M_{i}$ 和直线 $G N_{i}$ 的交点为 $K_{i}$ .

(1)、若 $a = 2, b = 1, n = 2$ ，求点 $K_{1}$ 的坐标并证明点 $K_{1}$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上；

(2)、证明：点 $K_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 在同一个椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上；

(3)、若 $a = 2, b = 1$ .已知 $H (- 2, 0)$ ，过点 $D (- 2, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线交（2）中椭圆 $W$ 于S，T两点，直线 $H S, H T$ 分别交直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 于P，Q两点，若 $| P Q | = 4 \sqrt{10}$ ，求 $k$ 的值.

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20、如图甲所示，已知在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2 \sqrt{3}$ ，且 $E$ 为BC的中点，将图甲中 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折起，使得 $A B ⊥ D E$ ，如图乙.

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面AECD；

(2)、若点 $F$ 为线段 $B D$ 的中点，求平面 $A B E$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $F$ 是线段 $B D$ 上的动点，且满足 $\vec{B F} = λ \vec{B D}$ ，若平面 $A E F$ 与平面AECD的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ 的值.

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$x$	200	700	1000
$R$	240000	415000	400000

$x$	-2	-1	0	1	2	3
$y$	16.1	-0.01	-4.92	-5.5	2.4	-3.2