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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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3、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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5、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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6、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12, a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}} =$ （）

A、7 B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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7、寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为 $60 %$ ，跳绳的概率为 $40 %$ ，在下雪天，他跑步的概率为 $20 %$ ，跳绳的概率为 $80 %$ ．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 $50 %$ ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 $40 %$ ．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第 $n$ 天不下雪的概率为 $p_{n}$ ．

(1)、求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值，并证明 $\{p_{n} - \frac{6}{11}\}$ 是等比数列；

(2)、求小明寒假第 $n$ 天通过运动锻炼消耗能量的期望．

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8、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} ω x + \sqrt{3} sin ω x cos ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ．

(1)、当 $ω = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b + c = \frac{3}{2} b c$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ， $f (\frac{A}{2}) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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9、 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点均在同一球面上， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，则 $△ A B C$ 面积的最大值为，四面体 $A B C D$ 体积最大时球的表面积为．

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10、用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数 $\bar{a b c d e}$ ，其中满足 $a > b > c < d < e$ 的五位数有n个，则在 $1 + {(1 + x)}^{1} + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（用数字作答）

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 短轴长为4，焦距为 $3$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，若点 $P$ 为 $C$ 上的任意一点， $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{2}{|P F_{2}|}$ 的最小值为.

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12、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) - 8 = 0$ ， $f (x - 2) - g^{'} (6 - x) - 8 = 0$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列一定成立的有（）

A、 $g^{'} (4) = 0$ B、 $f (1) + f (3) = 16$ C、 $f (2023) = 8$ D、 $\sum_{n = 1}^{20} f (n) = 160$

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13、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若． $z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ （i为虚数单位），向量 $\vec{O A}$ 绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量 $\vec{O B}$ 重合，则（）

A、 $z_{2}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、点B在第二象限 C、 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2}$ D、 $|\frac{z_{2}}{z_{1}}| = 2$

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14、甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个社区中随机选择一个社区，设事件 $M$ 为“甲和乙至少一人选择了 $A$ 社区”，事件 $N$ 为“甲和乙选择的社区不相同”，则 $P (N | M) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{9}$

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15、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ，若 $\vec{c}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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16、已知函数 $f (x) = x e^{3 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} + b_{n} x) e^{3 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{b_{1} - 1} + \frac{1}{b_{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n} - 1} < \frac{3}{4}$ ．

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17、已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，而焦点是双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的右顶点.
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l : y = x - 2$ 与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长 $|A B|$ ；
②求证： $O A ⊥ O B$ .

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P B E$ 所成角的正弦值.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前10项的和．

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 \ln x$ ，若关于x的不等式 $f (x) - m \geq 0$ 在 $[1, e]$ 上有实数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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