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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 11), \vec{b} = (3, - 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为．

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2、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$ C、若 $μ = 1$ ，平面 $A P Q$ 截正方体所得截面为四边形 D、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E$ 在线段 $A_{1} B$ 上，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{6 + 2 \sqrt{7}}$

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3、某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻 $t$ （单位： $s$ ）时过山车（看作质点）离地面的高度 $h$ （单位：m）满足 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B, (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ．已知当 $t = 4$ 时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当 $t = 10$ 时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（）

A、 $A = 18$ B、过山车启动时距地面13m C、 $ω = \frac{π}{6}$ D、一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s

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4、已知 $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z = 3 + 4 i$ ，则 $|\bar{z}| = 5$ B、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ C、若复数满足 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - 1| = |z + 1|$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点的轨迹为直线

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5、在 $△ A B C$ 中，若 $sin A + sin B = \frac{4}{3}$ ， $cos A + cos B = \frac{1}{3}$ ，则 $sin C$ 的大小为（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{15}{17}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6、已知三棱锥 $A - B C D$ 的侧棱 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两垂直， $C D = 2$ ， $A C = A D$ ，若该三棱锥的外接球体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该三棱锥的表面积为（）

A、 $2 + \sqrt{6} + \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{6} + \sqrt{13}$ C、 $1 + 2 \sqrt{6} + \sqrt{13}$ D、 $1 + 4 \sqrt{13}$

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = 60 °$ ， $b c = 6 \sin B \cos C$ ， $\cos B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8、已知在矩形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ， $|\vec{A B}| = 6$ ， $|\vec{A D}| = 3$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、9 B、 $- 12$ C、15 D、 $- 20$

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9、若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $20 π$ D、 $24 π$

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10、已知 $\vec{O A} = (2, 8)$ ， $\vec{O B} = (- 7, 2)$ ，则 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ 等于（）

A、 $(3, 2)$ B、 $(- \frac{5}{3}, - \frac{10}{3})$ C、 $(- 3, - 2)$ D、 $(- \frac{5}{3}, 4)$

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11、已知圆心在坐标原点的圆O与直线 $3 x - 4 y + 10 = 0$ 相切.

(1)、求圆O的方程.

(2)、设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P，Q分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点 $Q_{1}$ 是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点 $P, Q_{1}$ 分别到达点 $P^{'}, Q_{1}^{'}$ 的位置，记二面角 $A - O B - P$ 的大小为θ，且 $0 < θ < π$ .以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $O x y z$ .将线段 $Q Q_{1}^{'}$ 在平面 $O y z$ 上的正投影的中点记为点M.
（i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分.
（ii）若 $θ \in [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]$ 求（i）中椭圆离心率的取值范围.

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12、有 $m$ 个编号分别为 $1, 2, \dots, m$ 的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第 $n (1 \leq n \leq m, n \in N^{*})$ 个盒子中取出蓝球的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{2}$ ；

(2)、求 $p_{n}$ ；

(3)、求数列 $(n p_{n})$ 的前 $n$ 项和.

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13、如图三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = C A = 2$ ，平面 $D A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若二面角 $A - C D - B$ 的正切值为2，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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14、已知函数 $f (x) = - x e^{1 - x}$

(1)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，分别讨论函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、证明：当 $0 < t < x$ 时， $f (t) + f (x) < f (t + x)$ .

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15、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $1 - \cos^{2} A - \cos^{2} B + \cos^{2} C = \sin A \sin B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $C$ 的角平分线与 $A B$ 交于点 $D$ ，且 $C D = 1$ ，求 $4 a + b$ 的最小值.

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16、甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记 $X$ 表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望 $E (X) =$ ．

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17、已知 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{e} ， f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程为．

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18、已知 $f (x) = \frac{x}{x - 1} (x > 1)$ ，若 $α, β$ 分别是方程 $f (x) = e^{x}$ 和 $f (x) = \ln x$ 的根，则下列说法正确的是（）

A、 $α < 2 \ln 2$ B、 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} > 1$ C、 $α β < 6$ D、 $β + \ln β > 4$

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19、如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（）

A、圆台的高为 $\sqrt{7}$ B、圆台的体积为 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ C、a的最小值为 $3 \sqrt{3}$ D、b的最大值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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20、过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的右焦点 $F$ 作渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，若点 $F$ 关于点 $A$ 的对称点 $B$ 恰好落在双曲线 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的渐近线的方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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