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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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2、已知i为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是实数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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3、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 6\}, B = \{x \in Z |- 2 < x \leq e, e \approx 2.71828\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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4、图是计算机科学中的一种极为重要的模型．图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中．一个图 $G$ 由顶点集 $V$ 与边集 $E$ 组成，记为 $G = (V, E)$ ．顶点集 $V$ 是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上．图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集 $E$ 就是这个图所有边的集合．如图所示为一个由4个顶点组成的图 $G^{'}$ ，其顶点集 $V^{'} = \{A, B, C, D\}$ ，边集 $E^{'} = \{A B, B C, B D\}$ ．若图 $G$ 中依次存在一组边： $A_{0} A_{1}, A_{1} A_{2}, \dots, A_{m - 1} A_{m}$ ，则称顶点 $A_{0}, A_{m}$ 相互可达．如果图 $G$ 中任意两个顶点相互可达，则称图 $G$ 是连通的，如右所示的图 $G^{'}$ 就是连通的．
一个有含有 $n$ 个顶点的图 $G_{n}$ ，任意两个顶点间有边的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设图 $G_{n}$ 是连通的概率为 $R (n)$ ，定义 $R (1) = 1$ ．

(1)、当 $n = 3$ 时，在顶点 $A$ 与顶点 $B$ 相互可达的条件下，求 $A$ 与 $B$ 之间有边的概率；

(2)、当 $n = 4$ 时，求恰有3个顶点相互可达的概率；

(3)、求 $R (5)$ ．

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5、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，在对角线 $B D_{1}$ 上取一点 $E$ ，使得平面 $A C E //$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ．

(1)、求证： $\vec{B_{1} E} = 2 \vec{E O}$ ；

(2)、若平面 $C C_{1} D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $D D_{1} = D C = B C = B D = 2, B D_{1} = \sqrt{6}$ ，求 $B E$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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6、记 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 7, b = 8, 8 \sin A + 7 \sin B = 8 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，求 $c$ ．

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7、已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B D$ 中点， $A_{1}, A, B, E$ 四点都在球 $O_{1}$ 的球面上，且 $A_{1}, A, D, E$ 四点都在球 $O_{2}$ 的球面上，记球 $O_{1}$ 与球 $O_{2}$ 两球面上的所有公共点构成轨迹 $W$ ，则 $W$ 的周长为．

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8、在如下 $3 \times 3$ 的数阵中选出3个数，要求这3个数既不在同一行，也不在同一列．若这3个数的极差不大于5，那么满足条件的选法共有种．
2
5
7
4
9
10
6
8
11

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9、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{e}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量为 $- \sqrt{3} \vec{e}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为．

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10、已知集合 $S = \{(x, y) |x > 0, y > 0, x + y = 6, 且 x y - 3 k \geq 0\} (k > 0)$ ，则称集合 $S$ 为 $k -$ 分集．下列说法正确的是（）

A、当 $k = 3$ 时， $\{(3, 3)\}$ 是唯一的 $k -$ 分集 B、对任意 $k > 3$ ，总存在至少一个 $k -$ 分集 C、若 $S$ 是 $2 -$ 分集，则 $|x - y| \geq 2 \sqrt{3}$ D、若 $S$ 是 $1 -$ 分集，则 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} < 24$

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11、动圆 $P$ 过定点 $A (- \sqrt{6}, 0)$ ，且与圆 $B$ ${(x - \sqrt{6})}^{2} + y^{2} = 32$ 相内切于点 $M$ ，记圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ．则（）

A、曲线 $E$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、动圆 $P$ 面积的最小值为 $(14 - 8 \sqrt{3}) π$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为3 D、 $∠ A P M$ 的最小值是 $\frac{π}{3}$

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12、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，且满足 $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 α \sin 2 β$ 最小值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，纵坐标为 $\sqrt{2}$ 的点 $M$ 在 $C$ 上．若以 $M$ 为圆心， $|M F|$ 为半径的圆被 $y$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，则满足 $f (1 - m) > f (m + 1)$ 的实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0)$

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15、为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物试验，根据120个有放回随机样本的数据，得到如下列联表：
药物 $A$
疗效
合计
未患疾病 $B$
患疾病 $B$
未服用
10
50
60
服用
18
42
60
合计
28
92
120
经计算得到 $χ^{2} \approx 2.981$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验（已知 $χ^{2}$ 独立性检验中 $x_{0.05} = 3.841$ ），结论为（）

A、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 没有效果 B、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 没有效果，这种判断犯错误的概率不超过 $0.05$ C、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果 D、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果，这种判断犯错误的概率不超过 $0.05$

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16、已知空间中两条直线 $l, m$ ，及平面 $α$ ，且满足 $m \subset α$ ， “ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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17、已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、5

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18、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - b ln x$ ，其中 $b \in R$ ．

(1)、当 $b = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在极值，求 $b$ 的取值范围．

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19、已知公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}, a_{3} - 1, S_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} a_{n + 1} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x e^{x} - a, x < a, \\ 2 - x - 2 a, x \geq a \end{array}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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药物 $A$	疗效		合计
药物 $A$	未患疾病 $B$	患疾病 $B$	合计
未服用	10	50	60
服用	18	42	60
合计	28	92	120