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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 经过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，且离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M (2, 0)$ ， $N (- 2, 0)$ ，过椭圆 $C$ 的右焦点且斜率不为0的直线与 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ .
（ⅰ）若四边形 $A M B N$ 面积为 $\frac{16 \sqrt{3}}{5}$ ，求直线 $A B$ 的方程；
（ⅱ）若直线 $A N$ ， $B M$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，且 $\sin (α + β) = 4 \cos α \cos β$ ，求直线 $A N$ 与直线 $B M$ 的交点 $Q$ 到直线 $A B$ 的距离.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P D B$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, P O$ 与 $B D$ 不垂直， $A B = 2, △ P C B$ 的面积是 $△ P O B$ 面积的2倍．

(1)、证明： $P D ⊥ A C$ ．

(2)、设 $P D ⊥ D C$ ．
（i）求 $P D$ ：
（ii）若点 $M \in$ 平面 $P A D$ ，且点 $M \in$ 平面 $P B C$ ，求平面 $D C M$ 与平面 $A B M$ 夹角余弦值的最小值．

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3、如图，在等边 $△ D E F$ 中， $A, B, C$ 分别为边 $D E, E F, D F$ 上的点（不含端点），记 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a cos B + b sin \frac{A}{2} = c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，设 $∠ D C A = α$ .
（i）请用含 $α$ 的式子表示 $A D$ 和AE；
（ii）求 $△ D E F$ 面积的最大值.

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4、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）当 $a < 0$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} ＝ 3 ， a_{n ＋ 1} - 2 a_{n} ＝ 2^{n} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ .

(1)、证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积 $V_{1}$ 与正三棱柱外接球的体积 $V_{2}$ 之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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7、已知复数z满足 $z (1 - 2 i) = |3 + 4 i|$ （其中i为虚数单位），则复数z的虚部为.

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8、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 、 $P$ 是 $C$ 上的三个互不相同的动点，且 $A$ 与 $B$ 关于原点 $O$ 对称，则下列结论正确的有（）

A、若 $|P F_{1}| = 6$ ，则有 $|P F_{2}| = 10$ 或 $|P F_{2}| = 2$ B、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为20，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $10 \sqrt{2}$ C、 $\vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B}$ 的最大值为5 D、设 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2}$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$

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9、已知 $f (x)$ 是R上的以2为周期的奇函数，且当 $1 < x < 2$ 时， $f (x) = ln \frac{3 - x}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f （ - \frac{7}{2} ） = - \ln 3$ B、曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(2 k, 0), k \in Z$ C、当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ D、当 $a > - 2$ 时，函数 $y = f (x) - a (x - 2)$ 在区间 $(1, 3)$ 上仅有三个零点

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10、 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $q$ 为 $\{a_{n}\}$ 的公比（ $q < 0$ ）， $a_{3} = \frac{3}{2}$ ， $S_{3} = \frac{9}{2}$ ，则（）

A、 $q = - \frac{1}{2}$ B、 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的等差中项 C、 $S_{5} = \frac{31}{8}$ D、 $3 S_{n} - a_{n} = 12$

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11、将函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， $E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点（如图（1）），将矩形 $A B C D$ 绕直线 $E F$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ ，点 $A, B, C, D$ 分别位于 $Q, P, N, M$ 处（如图（2），则异面直线 $P C$ 与 $Q F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且 $|M F| = 10$ ，若 $A (a, 0)$ 满足 $A M ⊥ M F$ ，则 $a =$ （　　）

A、16 B、 $\frac{31}{2}$ C、 $\frac{27}{2}$ D、9

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14、已知直线a，b异面，下列判断正确的是（）

A、过b的平面不可能与a平行 B、过b的平面不可能与a垂直 C、过b的平面有且仅有一个与a平行 D、过b的平面有且仅有一个与a垂直

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15、已知集合 $P = \{x | 0 \leq x \leq 2\}, Q = \{x \in Z | 2^{x} \leq 8\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{x | x \leq 3\}$

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16、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 12 < 0\}$ ， $B = \{x | 2 a - 1 < x \leq a + 7\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17、某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠 $10 %$ ；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠 $20 %$ .某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为元.

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18、已知 $x^{3} - y^{3} < 2^{- x} - 2^{- y}$ ，则（）

A、 $ln (y - x + 1) > 0$ B、 $x^{3} < y^{3}$ C、 $ln |x - y + 1| > 0$ D、 $2^{x - y} < 1$

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19、在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为 $a$ 千克，且该湖泊中的蓝藻每天以 $8 %$ 的增长率呈指数增长，经过 $n$ 天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于 $3 a$ 千克，则 $n$ 的最小值是（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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20、若不等式 $(a x - 1) (x - b) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $4 a + b$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、5 D、 $4 \sqrt{2}$

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