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相关试卷

1、在复平面内，复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、实轴 B、虚轴 C、第二象限 D、第四象限

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2、已知 $M = {x ∣ 4 x^{2} - 4 x - 15 > 0}$ ， $N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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3、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ，点 $D$ 是平面 $A B C$ 上的动点，则 $A_{1} D + \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n} + 2}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．记 $[x]$ 表示不超过x的最大整数．

(1)、求 $[S_{1}], [S_{2}], [S_{3}]$ ；

(2)、是否存在常数A， $ω (A > 0, 0 < ω < 2 π)$ ，使得 $a_{n} = A \cos \frac{ω}{2^{n}}$ ？若存在，求A和 $ω$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、求 $[2 S_{1} + 1] + [2 S_{2} + 1] + \dots + [2 S_{n} + 1]$ ．

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5、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ．已知 $△ A O F$ （O为坐标原点）的面积为 $\frac{b^{2}}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、设B为椭圆 $C$ 上一动点，已知 $| A B |$ 的最大值为2．
（i）求 $C$ 的方程；
（ii）若 $B$ 在第一象限内，连接 $B F$ ，过 $A$ 作 $B F$ 的平行线交 $C$ 于另一点 $D$ ，记 $△ A B D$ 与 $△ A B F$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + a) + b$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 2 - 2 \ln 2 = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ ；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $f (x) = \frac{1}{e}$ 的两根，求证： $- 1 < x_{1} + x_{2} < - \frac{1}{2}$ ．
（注： $e = 2.71828$ …是自然对数的底数）

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，M是PD的中点．

(1)、求证： $A M ⊥ P C$ ；

(2)、求平面MAC与平面ABCD的夹角的余弦值．

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8、国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了 $200$ 人进行问卷调查，得到如下列联表：
体质情况
组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
$80$
$b$
$150$
不爱好运动
$c$
$10$

合计

$200$

(1)、求 $b, c$ 的值，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；

(2)、在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.1$
$0.01$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$6.635$
$10.828$

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9、在直角三角形ABC中， $A C = 2, B C = 1$ ， D为斜边AB上一点，若 $△ A C D$ 与 $△ B C D$ 的内切圆面积相等，则 $B D =$ ．

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， P是双曲线上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则C的离心率为．

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11、在 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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12、已知 $f (x), g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若 $h (x) = \{\begin{cases} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{cases}$ ，则（）

A、当函数 $f (x), g (x)$ 均为奇函数时， $h (x)$ 为奇函数 B、当函数 $f (x), g (x)$ 均为增函数时， $h (x)$ 为增函数 C、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最小值时， $h (x)$ 有最小值 D、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最大值时， $h (x)$ 有最大值

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13、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是边长为1的菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $C A_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ，则（）

A、平面 $C_{1} B D / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $B D ⊥ C C_{1}$ C、 $A C_{1} = \sqrt{3}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．已知 $a_{4} = 7, S_{3} = 9$ ，则（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $a_{2 n} = 2 a_{n} - 1$ C、 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 为等差数列 D、 $\{S_{2^{n}}\}$ 为等比数列

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15、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与对称轴的交点为 $C (- 2, 0)$ ，直线 $2 x - y - 8 = 0$ 与抛物线交于A，B两点，则 $△ A B C$ 的外接圆在x轴上截得的弦长为（）

A、 $\frac{34}{3}$ B、12 C、 $\frac{38}{3}$ D、 $\frac{98}{3}$

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16、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，设甲： $α + β > \frac{π}{2}$ ，乙： $\cos α + \cos β < 1$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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17、已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ ，则（）

A、 $P_{1}$ 最大 B、 $P_{2}$ 最大 C、 $P_{3}$ 最大 D、 $P_{1} = P_{2} = P_{3}$

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18、已知函数 $y = f (x) (x > 0)$ 的图象如图所示，则其解析式可能为（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 2 - x^{- 1}$ C、 $y = \log_{2} (2 x)$ D、 $y = 3 - 2^{2 - x}$

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19、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ．若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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20、已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 B、在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 C、在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递减

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体质情况组别	合格	良好及以上	合计
爱好运动	$80$	$b$	$150$
不爱好运动	$c$	$10$
合计			$200$

$α$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$6.635$	$10.828$