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相关试卷

1、不等式 $\frac{1}{x} \geq x$ 的解集是．

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2、设正数x，y，z满足 $x^{2} = 2^{a} ， y^{3} = 3^{a} ， z^{5} = 5^{a}$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $15 x^{2} < 10 y^{3} < 6 z^{5}$ B、 $10 y^{3} < 15 x^{2} < 6 z^{5}$ C、 $15 x^{2} = 10 y^{3} = 6 z^{5}$ D、 $6 z^{5} < 10 y^{3} < 15 x^{2}$

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3、下列不等式，其中正确的有（）

A、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ( $a > 0$ ，且 $b > 0$ ) B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 (a - b - 1)$ D、 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$

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4、若函数 $y = x - \frac{a}{x} + \frac{a}{2}$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $[1, + \infty)$

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5、已知 $x > 0$ ，则 $\sqrt{2 x (4 - 2 x)}$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6、已知 $△ A B C$ 顶点坐标分别为 $A (- 1, \sqrt{3}), B (- 1, - \sqrt{3}), C (- 4, 0)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $T$ 的方程；

(2)、设点 $D (3, \sqrt{3})$ ，若圆 $T$ 上存在点 $P$ ，使得 $P A^{2} + P D^{2} = λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $T$ 交于 $E, F$ 两点（不与原点 $O$ 重合），直线 $O E, O F$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 3$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点．

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7、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{c}| = 4$ ， $∠ A O B = 60 °$ 、 $∠ C O B = 90 °$ 、 $∠ A O C = 120 °$ ，点 $D$ 在棱 $B C$ 上，且 $B D : D C = 1 : 2$ .

(1)、计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的值；

(2)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{A D}$ ；

(3)、在线段 $A D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $O P ⊥ B C$ ？若存在，求 $A P : P D$ 的值，若不存在，请说明理由.

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8、已知直线l： $(a - 1) y = (2 a - 3) x + 1$ ．

(1)、求证：直线l过定点；

(2)、若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

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9、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和定点 $A (1, 2)$ ，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足 $\vec{O Q} \cdot \vec{P Q} = 0$ ， $∣ \vec{P Q} ∣ = ∣ \vec{P A} ∣$ ，则 $\vec{P O} \cdot \vec{P Q}$ 的最小值为．

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10、下列说法正确的是（）

A、经过点 $P (1, 1)$ ，倾斜角为 $θ$ 的直线方程为 $y - 1 = \tan θ (x - 1)$ B、“ $a = - 4$ ”是“直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $8 x + a y + 2 - a = 0$ 平行”的充要条件 C、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$ D、以 $A (4, 1)$ ， $B (1, - 2)$ 为直径端点的圆的方程为 $(x - 4) (x - 1) + (y - 1) (y + 2) = 0$

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11、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $A A_{1}$ 的中点，P是底面 $A B C D$ 所在平面内一动点，设 $P D_{1}$ ， $P E$ 与底面 $A B C D$ 所成的角分别为 $θ_{1} ， θ_{2}$ （ $θ_{1} ， θ_{2}$ 均不为0），若 $θ_{1} = θ_{2}$ ，则三棱锥 $P - B B_{1} C_{1}$ 体积的最小值是

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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12、过点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 作直线 $l$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，当 $△ A O B$ 的面积取最大值时，直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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13、已知点 $A, B$ 的坐标分别为 $(2, 0), (- 1, 4), P$ 为动点，且 $△ P A B$ 的面积总为10，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $4 x + 3 y - 12 = 0$ B、 $4 x + 3 y + 12 = 0$ C、 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 或 $4 x + 3 y + 28 = 0$ D、 $4 x + 3 y + 12 = 0$ 或 $4 x + 3 y - 28 = 0$

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14、如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，四边形 $A B E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，则直线 $A E, D B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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15、如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线 $A C, O B, M$ 是 $B C$ 边上一点，且 $B M = 3 M C$ ， $G$ 为 $A M$ 的中点，若 $\vec{O G} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + m \vec{O C}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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16、设向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{3}}$ 不共面，已知 $\vec{A B} = - 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{3}}$ ， $\vec{B C} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{3}}$ ， $\vec{C D} = 4 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} + 8 \vec{e_{3}}$ ，若 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线，则 $λ =$ （）

A、1 B、0 C、3 D、2

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17、已知直线l过直线 $x - 2 y = 0$ 与直线 $x + y + 3 = 0$ 的交点，且与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 平行，则直线l的方程为（）

A、 $3 x + y + 7 = 0$ B、 $3 x + y - 7 = 0$ C、 $3 x + y + 3 = 0$ D、 $3 x + y - 3 = 0$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

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19、已知双曲线 $C$ 的渐近线方程是 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，且过点 $(- 4, 6)$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为双曲线的左、右顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左支相交于 $P$ ， $Q$ 两点，记直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4},$ 已知 $k_{1} + k_{4} = - 3 (k_{2} + k_{3})$ .
（i）证明直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）求 $△ F_{2} P Q$ 面积的取值范围.

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20、如图1是一个由菱形 $A B C D$ 和两个直角三角形 $△ A D Q$ 和 $△ C D P$ 所组成的平面图形，其中 $∠ B A D = \frac{π}{3}, P D ⊥ C D, Q D ⊥ A D, A D = 1, P D = Q D = \sqrt{2}$ ，现将 $△ A D Q$ 和 $△ C D P$ 分别沿 $A D, C D$ 折起，使得点 $P$ 与点 $Q$ 重合于点 $S$ ，连接 $B S$ ，得到如图2所示的四棱锥 $S - A B C D$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $S B D$ ；

(2)、若 $E$ 为棱 $S A$ 上一点，记 $\frac{|S E|}{|S A|} = λ (0 \leq λ \leq 1)$
（i）若 $λ = \frac{1}{3}$ ，求直线 $C E$ 与平面 $S B D$ 所成角的正切值；
（ii）是否存在点 $E$ 使得直线 $C E$ 与直线 $A D$ 所成角为 $60^{\circ}$ ，若存在请求出 $λ$ 的值，若不存在请说明理由.

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