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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， M，N分别是AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，Q为线段 $A_{1} N$ 上的动点（包含线段的端点），K为平面 $A_{1} B C$ 上的动点，则以下说法正确的是（）

A、三棱锥A-QBC的体积为定值 B、Q为线段 $A_{1} N$ 的中点时，异面直线PQ与 $A_{1} B$ 所成角为30° C、若 $P Q ∥ 平面 A_{1} C M$ ，则 $\frac{N Q}{A_{1} Q} = \frac{2}{3}$ D、若K是平面 $A_{1} B C$ 上一动点，则 $| P K | + | K Q |$ 的最小值为 $\frac{5}{3}$

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2、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (b > 0)$ 的公共焦点，点 $P$ 是两曲线的一个交点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $a > b$ B、 $e_{1} e_{2} < 1$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形 D、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 是个定值

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3、在 $△ A B C$ 中， $A C = 7 ， B C = 4 ， \vec{A D} = 2 \vec{D B} ， C D = \sqrt{19}$ ，则 $B D =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (3, 1, - 1)$ ， $C (2, 2, - 2)$ ，点 $P (- 1, y, 1)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $y$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5、如图，在几何体 $P － A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形，且 $A B // D C$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是等边三角形，已知 $B D = 2 A D = 4$ ， $A B = 2 D C = 2 B C = 2 \sqrt{5}$ ，点M为棱 $P C$ 上的一点.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求二面角 $A － P B － D$ 的余弦值.

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6、今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间 $[50, 100]$ ，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件 $A =$ “至少有1人测试成绩位于区间 $[90, 100]$ ”，求在②的条件下事件A的概率．

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7、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $|A B| = |B C| = \frac{1}{2} |P A|$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点，且 $O P ⊥$ 底面 $A B C$ ，则直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为.

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8、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = A C = D B = D C$ ，且平面 $A B C$ 与底面 $B C D$ 垂直， $E$ 为 $B C$ 中点， $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，则平面 $A D B$ 与平面 $A B F$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $1$

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9、已知函数 $f (x) = - \frac{t}{x} + \ln (e x)$ ， $g (x) = \frac{t x}{e} + \ln x$ .（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

(1)、若 $t = 0$ ，求不等式 $f (x) + g (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $t > 0$ ，且实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = 0$ ， $g (x_{2}) = 0$ ，
①证明： $\frac{1}{e} < x_{1} x_{2} < e$ ；
②若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $\ln (\frac{x_{1}}{x_{2}}) \geq 5 - 3 \ln 2$ ，求 $x_{1} x_{2}$ 的最小值.

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10、已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ， $x \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、已知正实数a，b满足 $f (2 a - 3) + f (\frac{1}{b}) = 0$ .
①求 $2 a + \frac{1}{b}$ 的值；
②若存在满足条件的a，b，使得 $\frac{1}{a} + 2 b \leq t$ 成立，求实数t的取值范围.

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11、已知集合 $A = \{x |\frac{2 x - 5}{x - 2} > 1\}$ ， $B = \{x |t x^{2} - (t + 2) x + 2 \leq 0\}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $∁_{R} A \subseteq B$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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12、求值

(1)、 ${(3^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2^{\sqrt{2}}})}^{\sqrt{2}}$ ；

(2)、 ${0.1}^{0} + 8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{81}{25})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{1}{4})}^{- 1.5}$ .

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13、黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $[0, 1]$ 上，其解析式为 $R (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 互质， p > q > 0) \\ 0 ， x = 0, 1 或 x 为 [0, 1] 上的无理数 \end{cases}$ .
若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 x) + f (2 - 3 x) = 0$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (\frac{k}{4}) =$ .

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14、若 $(2, 9)$ 在函数 $y = a^{|x|}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象上，则函数 $y = a^{|x|}$ 的单调递减区间是.

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15、集合 $\{1, 2, 3\}$ 的子集个数为．

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16、已知定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：
①对任意 $x, y \in (- 1, 1)$ 都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ；②当 $x > 0$ ， $f (x) > 0$ .
则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (\frac{1}{5}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) - f (\frac{1}{7}) = 1$ D、 $f (\frac{1}{11}) + f (\frac{1}{19}) + f (\frac{1}{29}) + f (\frac{1}{41}) < f (\frac{1}{3})$

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17、存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in \{x |x \neq 0\}$ 都有（）

A、 $f (4^{x}) = x^{2} + 1$ B、 $f (x + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ C、 $f (x^{2}) = x + 1$ D、 $f (x^{2} + 2 x) = \sqrt{|x + 1|}$

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18、已知实数 $a, b, c$ 满足 $a > b > c$ ，则下列不等关系中不一定成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ C、 $a - b > b - c$ D、 $a + b > c$

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19、已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $a \in (0, 1)$ ，记 $f (x) = |x - [x + a]| + |x - [x - a]|$ ，且 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) \leq M (a)$ 恒成立，则 $M (a)$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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20、若 $m, n$ 均为大于1的实数，且 $m n = 3 + m + n$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为（）

A、6 B、9 C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 4 \sqrt{2}$

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