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相关试卷

1、如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的 $\frac{1}{4}$ 圆周，内弧半径为 $12$ 米，路宽为 $3$ 米，两人均从外弧 $A$ 点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点 $C$ ，又沿内弧 $C B$ 跑至点 $B$ 处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上 $D$ 点处，再沿外弧 $D E$ 跑至点 $E$ 处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为米.（结果精确到 $0.1$ 米，参考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.6$ ， $π \approx 3$ ）

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 20$ ， $S_{7} = 56$ ，则数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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3、用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是.

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4、若自变量 $x$ 表示时间，在长为定值 $T$ 的时间周期 $[u, u + T]$ 中，函数 $y = f (x)$ 的增长率为 $g (u) = \frac{f (u + T) - f (u)}{f (u)}$ ，以下判断正确的是（）

A、若 $f (x) = 3 x, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为减函数 B、若 $f (x) = 3^{x}, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为增函数 C、若 $f (x) = 3 x^{2}, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为增函数 D、若 $f (x) = ln x, x \in (1, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为减函数

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5、函数 $f (x) = 2 cos x + sin 2 x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}]$ C、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 $x = \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 的零点是 $\frac{π}{2} + k π, k \in Z$

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6、已知双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，则（）

A、双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、双曲线的离心率是 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、双曲线的虚轴长是8 D、双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6

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7、已知 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 16 x$ 上一点， $F$ 为抛物线的焦点，直线 $\frac{x}{4} + \frac{y}{b} = 1$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ， $\vec{P F} \cdot \vec{P A} = 0$ ，点 $B$ 为线段 $A F$ 的中点，则 $\cos ∠ A P B =$ （）

A、 $\sqrt{\frac{b^{2}}{4 + b^{2}}}$ B、 $\sqrt{\frac{b^{2}}{16 + b^{2}}}$ C、 $\sqrt{\frac{16}{16 + b^{2}}}$ D、 $\frac{b}{4 + b}$

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8、已知梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B = 2 B C = 2 C D = 2 A D = 4$ ，点 $M$ 为边 $C D$ 上的动点，若 $∠ A M B = α$ ，则 $cos α$ 的范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{7}]$ B、 $[- \frac{1}{7}, 1]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{1}{7}]$ D、 $[- \frac{1}{7}, 0]$

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9、从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（）

A、84 B、120 C、504 D、720

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10、高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（）

A、81.8 B、81.5 C、81.1 D、80.8

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11、某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为 $W_{0}$ （单位： $\frac{mg}{L}$ ），测得污水通过长度为 $l$ （单位： $m$ ）的净化装置后污染物的含量 $W$ 如下表：
$l$
0
1
2
3
$W$
$W_{0}$
$0.5 W_{0}$
$0.25 W_{0}$
$0.125 W_{0}$
研究小组的同学根据表格数据建立了 $W$ 关于 $l$ 的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（）

A、 $W = W_{0} + 0.5 l$ B、 $W = W_{0} \cdot {log}_{0.5} (l + 1)$ C、 $W = 0.5 W_{0} l$ D、 $W = W_{0} \cdot {(0.5)}^{l}$

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12、设集合 $A = \{x | y = \sqrt[3]{1 - x}\}, B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $R$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $(- 1, 2]$

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13、若复数 $- 1 + (1 - a^{2}) i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > - 1$ B、 $a < - 1$ 或 $a > 1$ C、 $- 1 < a < 1$ D、 $a < 1$

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14、已知四边形 $M B E A$ 为矩形，四边形 $A E C D$ 为直角梯形， $A E ⊥ A D, A D$ $∥$ $E C, M A = A D = 3, E C = 6$ ，二面角 $B - A E - C$ 的大小为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}, P$ 为 $C D$ 的中点．
①求点 $P$ 到平面 $M B E A$ 的距离；
②若 $A E = 3$ ，求平面 $B E P$ 与平面 $B A D$ 夹角的余弦值．

(2)、若 $θ = \frac{π}{2}, A E = 3$ ，点 $N$ 为线段 $E C$ 的中点，将 $△ D C N$ 沿 $D N$ 折起，使得 $△ D C N$ 与四边形 $M B E A$ 在平面 $A E N D$ 的同侧，且平面 $D C N$ $∥$ 平面 $M B E A$ ，点 $F$ 为四面体 $M E C D$ 的内切球球面上的一动点，求 $F D + \frac{1}{3} F C$ 的最小值．

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15、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(- \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $G$ 的标准方程．

(2)、若 $A, B$ 分别为椭圆 $G$ 的上､下顶点，直线 $l$ 与椭圆 $G$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $A C ⊥ A D$ ．
①证明：直线 $l$ 过定点．
②过点 $B$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $E$ ，求 $△ A B E$ 面积的最大值．

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{4} + a_{8} = 6, S_{17} = \frac{153}{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

(2)、设数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．
①求 $T_{n}$ ；
②是否存在实数 $t$ ，使得数列 $\{t T_{n} + \frac{n^{2} + 1}{n + 1}\}$ 为等差数列？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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17、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x + 2, a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq e^{x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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18、某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度 $y$ （单位： $^{\circ} C$ ）随冷却速率 $x$ （单位： $^{\circ} C / min$ ）变化的统计数据．
$x$
10
20
30
40
50
$y$
650
640
600
590
580

(1)、一般认为当 $|r| \geq 0.9$ 时，经验回归方程的拟合效果非常好；当 $0.75 \leq |r| < 0.9$ 时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．

(2)、请利用所给数据求该金属凝固点温度 $y$ 与冷却速率 $x$ 之间的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测冷却速率为 $80^{\circ} C / min$ 时，该金属的凝固点温度．
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n \cdot {\bar{y}}^{2})}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 1900, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3880$ ．

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19、已知直线 $a x + b y + a = 0$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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20、如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C, S A = S C = A B = B C = 2 \sqrt{2}, A C = 4$ ，若 $E$ 为线段 $A B$ 上一动点，则 $S E + C E$ 的最小值为．

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$l$	0	1	2	3
$W$	$W_{0}$	$0.5 W_{0}$	$0.25 W_{0}$	$0.125 W_{0}$

$x$	10	20	30	40	50
$y$	650	640	600	590	580