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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x - \sqrt{\frac{x}{2}}$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $E : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相等的焦距，离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则 $e_{2} - e_{1}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3、已知 $0 < a < 1 < b$ ，则（）

A、 $b^{a} < a^{b} < a^{a} < b^{b}$ B、 $a^{b} < a^{a} < b^{a} < b^{b}$ C、 $b^{b} < a^{b} < a^{a} < b^{a}$ D、 $a^{b} < b^{a} < a^{a} < b^{b}$

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4、已知动点 $P$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）

A、 $16 - 4 π$ B、 $4 + π$ C、 $4 + 2 π$ D、 $12 - 2 π$

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5、已知两个不同的平面 $α, β$ ，一条直线 $m$ ，下列命题是假命题的是（）

A、若 $α$ $∥$ $β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x < 2\}, B = \{y \in N ∣ y = x^{3}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[0, 2)$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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8、已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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9、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ 且 $cos C + (cos B - \sqrt{3} sin B) cos A = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $b + c$ 的取值范围.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $P C = A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $P B$ 上一点．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，求平面 $P A C$ 与平面 $A C E$ 的夹角的正弦值．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = 60 °$ ，点D，E满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C E}$ ， AC边上的中线BM与DE交于点O.设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B M}$ ， $\vec{D E}$ ；

(2)、求 $∠ M O E$ .

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12、如图是函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的函数为奇函数 D、若函数 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{5}{6}, \frac{4}{3})$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $P A = P B = 4$ ， $P C = P D = 2 \sqrt{2}$ ，该棱锥的高为（）.

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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14、已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 3, B C = 4, ∠ C = 90^{\circ} . P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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15、已知 $l, m$ 表示不同的直线， $α, β$ 表示不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l // α$ ，且 $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, m // α$ ，则 $m // l$ C、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, l ⊄ α$ ，则 $l // α$

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16、函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r} - r x - 1 (x > - 1$ ，且 $r > 0)$ .

(1)、 $r \neq 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，判断 $2 {cos}^{2} θ$ 与 ${(\frac{1}{n} cos 2 θ + 1)}^{n}$ 的大小 $(n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2)$ ，并说明理由；

(3)、证明：对于任意的 $n \in N^{*}, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，有 $({sin}^{2} θ + {sin}^{3} θ + \dots + {sin}^{2 n} θ + {sin}^{2 n + 1} θ) + ({cos}^{2} θ + {cos}^{3} θ + \dots + {cos}^{2 n} θ + {cos}^{2 n + 1} θ) \geq (\sqrt{2} + 2) (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

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17、设 $O$ 为坐标原点，点 $P (2, 4)$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两个动点， $\vec{O P} = λ (\vec{O A} + \vec{O B}) (λ \in R)$ .

(1)、证明：向量 $\vec{m} = (1, 4)$ 是直线 $A B$ 的一个法向量；

(2)、若线段 $O P$ 与椭圆交于点 $Q$ ，求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = \frac{1}{a_{n}}, a_{1} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = ln a_{2 n - 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = ln a_{n}, S_{n}$ 是数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，对 $\forall n \in N^{*}, S_{2 n} < k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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19、正四面体 $P - A B C$ 的三条棱 $P A, P B, P C$ 是圆锥 $P O$ 的三条母线，点 $A, B, C$ 在圆锥 $P O$ 的底面内，过 $P A$ 且与圆锥 $P O$ 底面垂直的平面与圆锥侧面交于 $P D$ （不同于 $P A$ ）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B D$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值.

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20、为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.

(1)、依据频率分布直方图，完成以下 $2 \times 2$ 列联表：

成绩不低于总体均分
成绩低于总体均分
合计
每天整理错题

未每天整理错题

合计

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.
附 $: X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.10
0.01
0.001
$χ_{α}$
2.706
6.635
10.828

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	成绩不低于总体均分	成绩低于总体均分	合计
每天整理错题
未每天整理错题
合计

$α$	0.10	0.01	0.001
$χ_{α}$	2.706	6.635	10.828