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相关试卷

1、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X < a) = P (X > b)$ ，则 $a + b =$ ．

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2、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x + 2) = 6$ ，且 $\forall t \neq 0, t f (x + t) - t f (x) < 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x + 1) - 3$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 为减函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 3)$ 中心对称 D、 $f (3 x - 2) - 3 > 0$ 的解集为 $(1, + \infty)$

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3、若复数 $z = \frac{2 + 4 i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $z = 3 + i$ B、 $z - 3$ 为纯虚数 C、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $|z - 2| = 2$

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4、若 $P (A) = \frac{4}{5}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{2}{3}, P (B ∣ A) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (A ∣ B) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{11}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{11}{15}$

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5、若 $a = {log}_{5} 3, b = {log}_{50} 18, c = lg 6$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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6、定义：二阶行列式 $|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}| = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ，三阶行列式 $E = |\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}|$ ， $E$ 的某一元素 $a_{i j}$ 的余子式 $M_{i j}$ 指的是在 $E$ 中划去 $a_{i j}$ 所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称 ${(- 1)}^{i + j} M_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，三阶行列式 $E$ 等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和． $|\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}| =$ （）

A、0 B、 $- 24$ C、6 D、 $- 18$

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7、已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{9}$ B、 $\frac{64 π}{9}$ C、 $\frac{32 π}{9}$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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8、函数 $f (x) = {cos}^{2} 4 x - 3 {sin}^{2} 4 x$ 的最小值和最小正周期分别为（）

A、 $- 3, \frac{π}{8}$ B、 $- 1, \frac{π}{4}$ C、 $- 3, \frac{π}{4}$ D、 $- 1, \frac{π}{8}$

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9、若抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点也是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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10、若向量 $\vec{a} = (m, 5), \vec{b} = (1, 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、18 D、 $- 18$

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11、若集合 $A = {x ∣ x < 0}, B = \{x ∣ x > 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[0, 1]$ C、 $(- \infty, 0]\cup[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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12、对于有穷数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若存在 $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ ，使得 $a_{i} - a_{j} \geq 2$ ，则将数列 $A_{0}$ 进行操作变换T：将 $a_{i}$ 减1， $a_{j}$ 加1，其余项不变，得到数列 $A_{1}$ ，记为 $A_{1} = T (A_{0})$ ．从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，依次得到数列 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ，即 $A_{i} = T (A_{i - 1})$ ， $i = 1, 2, \dots, m$ ．

(1)、已知数列 $A_{0}$ ： $- 2$ ， $0$ ， $1$ ， $3$ ，是否可以通过 $m$ 次操作变换 $T$ 得到如下数列？
① $- 4$ ， $2$ ， $1$ ， $2$ ；② $0$ ， $0$ ， $0$ ， $2$ ，
若可以，请写出一种满足题意的 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ；若不可以，请说明理由；

(2)、已知数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，若从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ 后得到数列 $A_{m}$ ： $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ，求 $m$ 的所有可能值．

(3)、已知数列 $A_{0}$ ： $1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $20$ ，将数列 $A_{0}$ 进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，直到这种操作不能再进行时为止，求 $m$ 的最大值．

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13、已知函数 $f (x) = x (x - a \ln x - \frac{1}{x})$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $0 \leq a \leq 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ）．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若存在正整数M，使得 $a x_{1} + x_{3} \geq M$ 恒成立，求M的最大值．

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14、三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $C A = C B = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = \sqrt{10}$ ．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．

(1)、求PB与平面PCE所成角的正弦值；

(2)、设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足 $| D E | + | D F | = 4$ ．试探究是否存在点D使得平面 $P B D ⊥$ 平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．

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15、甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是 $\frac{1}{9}$ ，甲投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{6}$ ，乙投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{6}$ .

(1)、请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；

(2)、现将投篮水平较低的两人组成一组（记为 $A$ ），与投篮水平较高的人（记为 $B$ 组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮 $2$ 次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求 $B$ 组获胜的概率.

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $∠ B A C = 60 °$ ．

(1)、求 $\sin ∠ A C B$ ；

(2)、设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求 $\cos ∠ M P N$ ．

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17、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$ ， $A, B$ 分别是 $C$ 的左、右顶点，P是双曲线 $C$ 上与 $A, B$ 不重合的一动点，直线 $P A, P B$ 与 $x = 1$ 交于 $M, N$ 两点， $△ P M N$ ， $△ P A B$ 的外接圆半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则 $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 的最小值为．

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18、若函数 $f (x) = 5 \sin (x + θ) + 12 \cos (x + θ)$ 为奇函数，则 $\tan θ =$ ．

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19、已知圆台上下底面半径分别为 $1$ 和 $2$ ，母线与下底面所成角为 $60^{\circ}$ ，则圆台侧面积为．

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20、已知P为抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 上一点，F为C的焦点，直线l的方程为 $3 x + 4 y + 6 = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $A (3, 4)$ ，则 $| A P | + | P F | \geq 5$ B、点P到直线l与到直线 $y = - 2$ 的距离之和的最小值为2 C、若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ 相切，则r的取值范围为 $r \geq \sqrt{6}$ D、过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B， $△ E A B$ 外接圆面积的最小值为 $π$

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