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相关试卷

1、将函数 $y = 2 sin (6 x - \frac{π}{10})$ 图象上的每个点的横坐标伸长为原来的 $3$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，若函数 $y = f (k x) (k > 0)$ 在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{9}{10}]$ B、 $(0, \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{9}{10}, + \infty)$ D、 $[\frac{4}{5}, + \infty)$

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2、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = {log}_{6} 3$ ，且 $6^{a_{n + 1}} \cdot {(\frac{1}{6})}^{a_{n}} = 2$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、 $1 + 19 {log}_{6} 3$ B、 $1 + 19 {log}_{6} 2$ C、 $1 + 18 {log}_{6} 3$ D、 $1 + 18 {log}_{6} 2$

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3、已知角 $α, β$ 满足 $(2 - tan α) (2 + tan β) = 5$ ，则 $tan (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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4、某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（）

A、 $A_{4}^{4} A_{11}^{11}$ B、 $A_{11}^{11}$ C、 $A_{4}^{4} A_{10}^{10}$ D、 $A_{5}^{5} A_{10}^{10}$

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5、若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 为偶函数，则 $f (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $f (x) = cos x$ B、 $f (x) = x^{3} + x^{2}$ C、 $f (x) = x^{4} + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3} + 2 x - 3$

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6、设集合 $A = \{x ∣ x^{3} > 4\}, B = {x \in Z ∣ - 4 < x < 7}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的虚轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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8、设数列 $\{a_{n}\}$ 是 $1, 2, \dots, n (n \in N^{*})$ 的一个排列．由 $\{a_{n}\}$ 中连续 $r$ 项组成的集合称作“ $\{a_{n}\}$ 的长为 $r$ 的子列集”，其中 $1 \leq r \leq n$ ．任取不大于 $n$ 的正整数 $s, t$ ，当 $s t \geq n$ 时，若数列 $\{a_{n}\}$ 的任意长为 $s$ 的子列集 $B = \{b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}\}$ 和数列 $1, 2, \dots, n$ 的任意长为 $t$ 的子列集 $C = \{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t}\}$ ，都有 $B \cap C \neq \emptyset$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”．

(1)、判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．

(2)、证明：由 $1, 2, \dots, n$ 的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过 $[\frac{n + 1}{2}]$ 的“好数列”（ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”，求 $n$ 的最大值．

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9、已知函数 $f (x) = (x^{3} + 2 x^{2}) e^{a x + b} (a, b \in R)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程为 $y = 1$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f (x) \leq - x^{2} - 2 x$ ，求 $x$ 的取值范围．

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10、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，过点 $A$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $T$ ，线段 $A T$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ．过点 $P (1, 0)$ 且与 $l$ 平行的直线与 $y$ 轴交于点 $Q$ ．若 $△ O M N$ 与 $△ N P Q$ 的面积之比为 $4 : 3$ ，求 $k$ 的值．

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11、为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间 $[0, 1)$ 内有70人，近视率为 $80 %$ ；日均户外活动时长在区间 $[1, 2)$ 内有20人，近视率为 $40 %$ ；日均户外活动时长在区间 $[2, 3]$ 内有10人，近视率为 $20 %$ ．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．

(1)、估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；

(2)、用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；

(3)、为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 $\bar{x}$ ，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 $\bar{y}$ ．用样本估计总体，试比较 $\bar{x}$ 与 $\bar{y}$ 的大小．（结论不要求证明）

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12、如图，在四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 与侧面 $A D D^{'} A^{'}$ 均为菱形， $A B ⊥$ 平面 $A D D^{'} A^{'}, A D = 2, E$ 为 $C C^{'}$ 的中点， $D D^{'}$ 与平面 $A B E$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $F$ 为 $D D^{'}$ 的中点；

(2)、再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段 $A^{'} C$ 上是否存在点 $G$ ，使得直线 $A G$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{4}$ ？若存在，求 $\frac{A^{'} G}{A^{'} C}$ 的值；若不存在，说明理由．
条件①： $A D = A D^{'}$ ；
条件②： $D D^{'} ⊥ B F$ ．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．

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13、在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} c sin B + b sin 2 C = 0$ ．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 边上的高．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = k \sqrt{a_{n} + 1} - 1 (k > 0)$ ，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数 $k$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是常数列；
②当 $k = 1$ 时， $\{{log}_{2} (a_{n} + 1)\}$ 是等比数列；
③若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则 $k \in (0, \sqrt{2})$ ；
④若对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n} < 3$ ，则 $k \in (0, 2]$ ．
其中所有正确结论的序号为．

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15、已知 ${(x - 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ ．（用数字作答）

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16、已知直线 $x = - \frac{π}{3}$ 为函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 图象的一条对称轴，则满足条件的一个 $ω$ 的取值为；若 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 上有零点，则 $ω$ 的最小值为．

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17、函数 $f (x) = \frac{ln (1 - x)}{\sqrt{x}}$ 的定义域为．

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18、已知 $M = \{(x, y) |y = t {log}_{2} x - t + 1, 1 \leq x \leq 2, 0 \leq t \leq 1\}$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点集．设 $d$ 是 $M$ 中两点间距离的最大值， $k$ 是 $M$ 中的点与原点 $O$ 连线的斜率， $S$ 是 $M$ 表示的图形的面积，给出下列四个结论：① $(\sqrt{2}, \frac{1}{2}) \in M$ ；② $d = \sqrt{2}$ ；③ $k \in [0, \frac{1}{2}]$ ；④ $S < \frac{1}{2}$ ．其中所有正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数 $f^{'}$ ，波源发出的光波的频率为正数 $f$ ， $f^{'}$ 和f满足光的普遍多普勒效应公式 $f^{'} = f \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{1 - β cos θ}$ （ $β \in (0, 1)$ 为波源运动速率与光速的比值， $θ \in [0,π]$ 为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用 $A I$ 工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入 $β$ 和 $θ$ 的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是（）

A、输入 $θ = 0$ 和任意β，运行结果显示“红移” B、输入 $θ = \frac{π}{2}$ 和任意β，运行结果显示“蓝移” C、输入 $β = \frac{4}{5}$ 和任意 $θ > \frac{π}{6}$ ，运行结果显示“红移” D、输入 $β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 和任意 $θ < \frac{π}{4}$ ，运行结果显示“蓝移”

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20、如图，在棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 为正方形， $A B = 3, A^{'} B^{'} = 1$ ，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面 $A B C D$ 的夹角均为 $45 °$ ，则该棱台的表面积为（）

A、18 B、 $10 + 8 \sqrt{2}$ C、 $10 + 8 \sqrt{3}$ D、34

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