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相关试卷

1、已知角 $α, β$ 的终边关于直线 $y = x$ 对称，且 $s i n (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $α, β$ 的一组取值可以是 $α =$ ， $β =$ .

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2、下列说法正确的是（）

A、轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为 $\sqrt{2} π$ B、若 $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $\sqrt{1 - 2 s i n (\frac{π}{2} + α) s i n (π - α)} = s i n α - c o s α$ C、已知 $α$ 为锐角， $s i n α = \frac{3}{5}$ ，角 $β$ 的终边上有一点 $P (2, 1)$ ，则 $t a n (α + β) = 1$ D、在 $- 360 ° ∼ 360 °$ 范围内，与 $- 410 °$ 角终边相同的角是 $310 °$ 和 $- 50 °$

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3、下列说法正确的是（）

A、“ $α$ 为第一象限角”是“ $\frac{α}{2}$ 为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B、“ $α = \frac{π}{6} + 2 k π$ ， $k ∈ Z$ ”是“ $s i n α = \frac{1}{2}$ ”的充要条件 C、设 $M = {α | α = k π \pm \frac{π}{4}, k \in Z}$ ， $N = {α | α = \frac{k π}{4}, k \in Z}$ ，则“ $θ \in M$ ”是“ $θ \in N$ ”的充分不必要条件 D、“ $s i n θ > 0$ ”是“ $t a n \frac{θ}{2} > 0$ ”的必要不充分条件

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4、集合 $A = {x | - \frac{3 π}{2} \leq x < \frac{3 π}{2}}$ ， $B = {x | x = k π + \frac{π}{2}, k \in Z}$ ， $C = A ∩ B$ ，则集合 $C$ 中的元素个数为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .
（1）求证：平面 $P A B$ ；
（2）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面 $P C D$ ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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6、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = \frac{2}{1 + 2^{1 - x}}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，并写出函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明），若 $g (- a^{2} - 1) + g (4 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，且 $a_{2} + a_{4} = b_{4} + 2$ ， $a_{1} + a_{3} = b_{2} + b_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{9}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ .

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8、如下图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 14 cm， $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 依次将 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} A_{1}$ 分为3：4的两部分，得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ，依照相同的规律，得到正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3} 、 A_{4} B_{4} C_{4} D_{4} 、 \dots 、 A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . 一只蚂蚁从 $A_{1}$ 出发，沿着路径 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ 爬行，设其爬行的长度为 $x$ ， $K$ 为正整数，且 $x$ 与 $K$ 恒满足不等式 $x \leq K$ ，则 $K$ 的最小值是.

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9、设函数 $f (x) = x^{3} + (a - 1) \cos x - 3 x$ ，若 $f (x)$ 为奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 过点 $(2 a, - 6)$ 的切线方程为．

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10、已知圆台 $O O_{1}$ 上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面 $A B C D$ 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（）

A、 $A A_{1} ⊥ B D$ B、二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ C、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $64 π$ D、设圆台 $O O_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{π}{2}$

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11、若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\log_{2} a + \log_{2} b \leq - 2$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a + \ln b < 0$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x ln x, x > 0, \\ - x^{2} - 2 x + 1, x \leq 0, \end{array}$ 函数 $g (x) = f (x) - a$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a < - \frac{1}{e}$ ，则 $g (x)$ 恰有2个零点 B、若 $g (x)$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup (2, + \infty)$ C、若 $g (x)$ 恰有3个零点，则 $a$ 的取值范围是 $[0, 1)$ D、若 $1 \leq a < 2$ ，则 $g (x)$ 恰有3个零点

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13、在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）

A、0.475 B、0.525 C、0.425 D、0.575

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14、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 是奇函数，则图中的 $a$ 值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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15、已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $- \frac{2}{7}$

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16、已知 $a_{n} > 0$ ， $b_{n} = n^{2} + n$ ，函数 $f_{n} (x) = e^{x} - x + \ln a_{n} - a_{n}$ .

(1)、若 $f_{n} (x) \geq 0$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $\frac{2 b_{n}}{2 b_{n} - 1} < a_{n} < \frac{b_{n} + 1}{b_{n}}$ .记M为 $f_{1} (x), f_{2} (x), \cdot \cdot \cdot, f_{n} (x)$ 的所有零点组成的集合， $X, Y$ 为M的子集，它们各有n个元素，且 $X \cap Y = \emptyset$ .设. $x_{i} \in X, y_{i} \in Y, i = 1, 2, \dots, n$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}, y_{1} > y_{2} > \dots > y_{n}$ .证明： $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + 1) (y_{i} + 1) < n$ .

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17、已知函数 $f (x) = - 4 a ln x + x^{2} - 1.$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、探究 $f (x)$ 的最小值.

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18、函数 $y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ 的定义域为 $x \in [- 1, 1]$ ．

(1)、设 $t = 2^{x}$ ，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $\frac{y}{2^{x}} > m$ 恒成立，求 $m$ 的范围．

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19、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} e^{x}$ ，其极大值点和极小值点分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，记点 $A (x_{1}, f (x_{1})), A (x_{2}, f (x_{2}))$ ，直线 $A B$ 交曲线 $y = f (x)$ 于点 $C$ ，若存在常数 $λ \in (n, n + 1) (n \in N^{*})$ ，使得 $|A B| = λ |B C|$ ，则 $n =$ .

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20、若 $\forall a \in [e, 4)$ 有 $b < a^{3} + a - 4 \ln a - 1,$ 则 $b$ 的取值范围是.

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