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相关试卷

1、已知 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）.

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ， $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$

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2、已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = |- i|$ ，则 $z$ 为（）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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3、定义：对于函数 $f (x)$ ， $x \in D$ ，若存在闭区间 $[a, b] \subseteq D$ 和常数 $c$ ，使得对 $\forall x \in [a, b]$ ，都有 $f (x) = c$ ，且对 $\forall x \in D$ ，当 $x \notin [a, b]$ 时， $f (x) > c$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“凹平函数”.

(1)、若函数 $g (x) = |x - 1| + |x - 2|$
（i）证明： $g (x)$ 是 $R$ 上的“凹平函数”；
（ii）对于 $\forall m > 0$ ， $n > 0$ ，且满足 $m + n = 1$ ，若 $\frac{4}{2 m + n} + \frac{16}{n + 2} \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若函数 $h (x) = s \cdot 2^{x} + \sqrt{4^{x + 1} - 2^{x + 1} + t}$ 是 $[- 3, + \infty)$ 上的“凹平函数”，求实数 $s$ ， $t$ 的值.

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4、若命题“对任意 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ ，函数 $y = \sin x + \tan x$ 的值恒小于 $m$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为．

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5、已知函数 $y = f (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = g (x)$ 的图象是如图所示的曲线 $A B C$ ，若 $g (f (x) + 2) = 2$ ，则 $x$ 的值可能为（）
$x$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
$f (x)$
0
2
1
2
0
3
1

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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6、函数 $y = \sqrt{2 \sin x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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7、已知集合 $A = \{x ||x - 2| \leq 5\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x - 6 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(- 3, - 1) \cup (6, 7)$ C、 $[- 3, - 1) \cup (6, 7]$ D、 $[- 3, 7]$

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8、若函数 $f (x)$ 满足条件：函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，且 $D \subseteq I$ ， $\exists t \in D$ ， $\forall x \in D$ ，当 $x < t$ 时，都有 $f (x) > f (t)$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“ $t$ 型函数”.

(1)、若 $f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x} - 2 x$ 是“ $t$ 型函数”，求实数 $t$ 的最大值；

(2)、若函数 $f (x) = 3 x - (a x + 3) ln (x + 1)$ 不是 $[0, 2]$ 上的“ $t$ 型函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 0$ ， $a_{n} - a_{n - 1} \geq - 1 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，若 $f (n) = a_{n} (n \in N^{*})$ 是“ $t$ 型函数”，且正整数 $t$ 的个数为 $m$ ，证明： $a_{n} \geq - m$ .

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9、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合，且点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $E$ 上.

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、过点 $F$ 作直线 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $G, H$ 两点，过原点 $O$ 作直线 $l_{1}$ 的平行线 $l_{2}$ 交 $E$ 于 $M, N$ 两点，则是否存在常数 $λ$ ，使得 $| M N |^{2} = λ |G H|$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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10、在机器学习中，精确率 $Q$ 、召回率 $R$ 、卡帕系数 $k$ 是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测， $A$ 表示事件“选到的位点实际有雷”， $B$ 表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率 $Q = P (A |B)$ ，召回率 $R = P (B |A)$ ，卡帕系数 $k = \frac{p_{o} - p_{e}}{1 - p_{e}}$ ，其中 $p_{o} = P (A B) + P (\bar{A} \bar{B}), p_{e} = P (A) P (B) + P (\bar{A}) P (\bar{B})$ ．

(1)、若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率 $Q$ 和召回率 $R$ ．

实际有雷
实际无雷
总计
检测到有雷
40
24
64
检测到无雷
10
26
36
总计
50
50
100

(2)、对任意一次测试，证明： $k = 1 - \frac{Q + R - 2 Q R}{Q + R - 2 P (A B)}$ ．

(3)、若 $0.6 < k \leq 1$ ，则认为机器人的检测效果良好；若 $0.2 < k \leq 0.6$ ，则认为检测效果一般；若 $0 \leq k \leq 0.2$ ，则认为检测效果差．根据卡帕系数 $k$ 评价（1）中机器人的检测效果．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D,$ $A D ⊥ A B, B C / / A D,$ $A B = B C = 2,$ $A D = P A = 4$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面PAC.

(2)、在线段BC上是否存在一点 $E$ ，使点 $E$ 到平面PCD的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ？若存在，求出 $\frac{C E}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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12、蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1， $O, M$ 是其中一个正六边形的顶点， $N$ 为图中7个正六边形内一点（包含边界），则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围是．

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在 $C$ 的右支上， $B$ 为 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点，若直线 $A F, B F$ 的斜率分别为 $\sqrt{3}$ ， $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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14、若 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为.

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15、已知函数 $f (x) = 2 cos (3 x - \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{2 π}{3} + x) = f (x)$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调 C、若 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 4 (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{2 π}{3}$ D、若 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{2 π}{3}$

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16、 $S_{n}, T_{n}$ 分别是等差数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $\{2 a_{n} + 3 b_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n - 3}{n + 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} = \frac{5}{2}$ C、若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n - 3}{n + 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{4}} = \frac{15}{8}$ D、若 $S_{3} = 10, S_{6} = 40$ ，则 $S_{9} = 50$

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17、已知 $a = 1 - {cos}^{2} \frac{1}{10}$ ， $b = sin \frac{1}{100}$ ， $c = tan \frac{1}{100}$ ，则（　　）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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18、已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A, B$ 是 $C$ 上不同的两点，且都在第一象限，若 $A F ⊥ x$ 轴， $|B F| = 5 |A F|$ ， $|A B| = \sqrt{5}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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19、已知 $△ A B C$ 是等边三角形，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 向量在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (m + 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ .若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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	实际有雷	实际无雷	总计
检测到有雷	40	24	64
检测到无雷	10	26	36
总计	50	50	100

$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4
$f (x)$	0	2	1	2	0	3	1