广东广州市第十六中学2025-2026学年高三年级考前教学质量检测数学（问卷）

试卷更新日期：2026-06-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n + 4$ ，则数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 的公比是（）

A、2 B、6 C、8 D、16

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3. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x}, & x \leq 0 \\ \frac{x}{1 + i}, & x > 0 \end{matrix}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} i$ B、 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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4. 若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、底边和腰不相等的等腰三角形 D、等边三角形

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5. 已知数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{8}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 12$ ，设 $m = a_{k + 1} - a_{k} (1 \leq k \leq 7, k \in N^{*})$ ，若 $m = 1$ 或2，则满足条件的不同数列的个数为（）

A、7 B、21 C、35 D、70

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6. 已知 $A (- 2, - 2), B (- 2, 6), C (4, - 2)$ 三点，点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值是（）

A、144 B、88 C、72 D、32

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7. 今天是星期四，再过 $10^{100}$ 天是星期几（）

A、星期天 B、星期一 C、星期二 D、星期三

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8. 小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（）同学不用上台表演.

A、小吴：平均数为 $3$ ，中位数为 $2$ B、小温：中位数为 $3$ ，众数为 $2$ C、小蔡：平均数为 $2$ ，方差为 $2.4$ D、小龙：中位数为 $3$ ，方差为 $2.8$

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二、多选题

9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t s$ 时相对于平衡位置的高度 $h ($ 单位： $cm)$ 由关系式 $h = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ 确定以 $t$ 为横坐标， $h$ 为纵坐标，下列说法正确的是（）

A、小球在开始振动 $($ 即 $t = 0)$ 时的位置在 $(0, \sqrt{2})$ B、小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 $2$ $cm$ C、小球往复运动一次所需时间为 $2 πs$ D、每秒钟小球能往复振动 $\frac{1}{π}$ 次

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10. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．若 $f (x)$ 奇函数，且 $f (x) - g (x)$ $= a^{x}, (a > 0 且 a \neq 1)$ ，则（）

A、 $f (x) + g (x) = a^{- x}$ B、 $g (x) \leq - 1$ C、 $g^{'} (x) = f (x)$ D、 $f (2 x) = - 2 f (x) g (x)$

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11. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，其前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} \cdot S_{n} = 9 (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ．给出下列四个结论，其中所有正确结论的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 的第2项小于3 B、 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 C、 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 D、 $\{a_{n}\}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项

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三、填空题

12. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $2, F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点，且 $|M F_{1}| = 5$ ，则 $|M F_{2}| =$ .

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13. 如图，已知定点 $B (1, - \sqrt{3})$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E$ ． $O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $P$ 的轨迹方程为．

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14. 设 $f (α) = \sin^{x} α + \cos^{x} α, x \in \{n| n = 2 k, k \in N_{+}\}$ ，当 $x = 4$ 时， $f (α)$ 的取值范围是；当x取一般值时 $f (α)$ 的取值范围是．

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四、解答题

15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - ln (x + m)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2$ ，且满足 $a tan A cosB + b sin A = 2 c tan A cos B$

(1)、求角 $B$ 的大小

(2)、 $△ A B C$ 的内心为 $I$ ，求 $△ A C I$ 周长的取值范围.

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17. 矩形 $A B C D$ 的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的顶点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $P$ ， $Q$ ， $R$ 三点在以 $A C$ 为直径的圆上，且直线 $P Q$ ， $P R$ 均与 $E$ 有且只有一个公共点，证明： $△ P Q R$ 是直角三角形．

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18. 某校举办“数学文化节”，设有 $n$ 个不同主题的展区（ $n \geq 2$ ），每个展区有唯一的主题编号，分别为1，2，…， $n$ .游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为 $X$ .

(1)、当 $n = 3$ 时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；

(2)、当 $n = 4$ 时，求参观者获得纪念章枚数 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、设 $a_{n}$ 为 $n$ 个展区时参观者获得纪念章枚数 $X$ 的期望值，求 $a_{n}$ 关于 $n$ 的表达式，并证明 $\{a_{n}\}$ 是递增数列.

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19. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ ，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D \in R$ ， $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ，且 $\vec{n} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.已知集合 $P = \{(x, y, z) || x |\leq 1,| y |\leq 1,| z ∣ \leq 1\}$ ， $Q = \{(x, y, z) || x |+| y |+| z ∣ \leq 2\}$ ， $T = \{(x, y, z) || x |+| y |\leq 2,| y |+| z |\leq 2,| z |+| x ∣ \leq 2\}$ .

(1)、设集合 $M = \{(x, y, z) ∣ z = 0\}$ ，记 $P \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{1}$ ， $Q \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的值；

(2)、记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{1}$ ， $P \cap Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的值：

(3)、记集合 $T$ 中所有点构成的几何体为 $W$ .
①求 $W$ 的体积 $V_{3}$ 的值；
②求 $W$ 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出 $W$ 的面数和棱数.

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