浙江省“9+1”高中联盟2026届高三上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-12-04 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}, B = {x ∣ 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}$ B、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 3}$ D、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 3\}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2}{\sqrt{3} - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则其共轭复数为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - i}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + i}{2}$ C、 $\sqrt{3} - i$ D、 $\sqrt{3} + i$

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3. 椭圆 $3 x^{2} + y^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4. 将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{12})$ B、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{12})$ C、 $g (x) = sin (2 x - \frac{5 π}{12})$ D、 $g (x) = sin (2 x - \frac{7 π}{12})$

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5. 记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则“ $1 < x < 2$ ”是“ $0 < [x] < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{3} + a_{5} = 10$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{b_{a_{n}}\}$ 的前10项和为（）

A、2046 B、3069 C、6138 D、6144

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7. 已知 $sin (θ + \frac{π}{3}) sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{20}$ ，则 ${sin}^{4} θ + {cos}^{4} θ =$ （）

A、 $\frac{23}{50}$ B、 $\frac{27}{50}$ C、 $\frac{29}{50}$ D、 $\frac{31}{50}$

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8. 已知 $a \in R$ ，对任意 $z \in (0, + \infty)$ ，方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = a z \\ x y = ln z \end{array}$ 存在实数解 $(x, y)$ ，则 $a^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{2}{e}$ C、1 D、2

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列关于统计的知识，说法正确的是（）

A、若数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的方差为0，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 B、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} (n \geq 5)$ ，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C、数据 $- 2, - 1, 3, 7, 8, 9, 10, 11$ 的第70百分位数是8.5 D、若一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 的对应样本点都在直线 $y = - 0.5 x + 1$ 上，则这组样本数据的相关系数为-1

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10. 已知点 $A$ 为直线 $l : 4 x + 3 y + t = 0 (t \in R)$ 上的动点，向量 $\vec{A B} = (2, 1)$ ，过点 $B$ 向圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 作两条切线，切点分别为点 $D, E$ ，则（）

A、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $t = \pm 5$ B、当 $t = 1$ 时，直线 $l$ 截圆 $C$ 所得的弦长为 $\frac{4}{5} \sqrt{6}$ C、点 $B$ 到直线 $l$ 的距离恒为 $\sqrt{5}$ D、若 $t < 0$ ，则当 $|B C| |D E|$ 取到最小值时， $l ⊥ B C$

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11. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 满足底面 $A B C D$ 为平行四边形，取 $P C$ 中点 $M$ ，过直线 $A M$ 作平面 $α$ 分别交棱 $P B, P D$ 于点 $S, T$ .设 $x = \frac{P S}{P B}, y = \frac{P T}{P D}$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A M B$ 的体积是四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的 $\frac{1}{4}$ B、 $x$ 的取值范围为 $(0, 1]$ C、当 $x = \frac{2}{3}$ 时， $y = \frac{2}{3}$ D、四棱锥 $P - A S M T$ 的体积与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比的最小值为 $\frac{1}{3}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在 $(2 - \frac{x}{y}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{2}$ 的项的系数是.

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13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - k, x \leq \frac{1}{2} \\ |ln x|, x > \frac{1}{2} \end{cases}$ 的最小值为0，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14. 已知正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n} (n \leq 15)$ 内接于单位圆 $O$ ，任取两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$ ，满足 $|{\vec{O A}}_{i} + {\vec{O A}}_{j}| \geq \sqrt{3}$ 的概率为 $\frac{2}{7}$ ，则 $n$ 的值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}, g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x > 1$ 时，判断并证明 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的大小关系.

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \sqrt{2} a sin C - a cos C + b - c = 0$ .

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $sin B = \frac{\sqrt{6}}{3}, △ A B C$ 的最长边长度为4，求最短边的长度.

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17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, P A = A B = 2, C$ 在以 $A B$ 为直径的圆周上运动，作 $A E ⊥ P B$ 于 $E, A F ⊥ P C$ 于 $F$ ，连接 $E F, F B$ .

(1)、求证： $A F ⊥ P B$ ；

(2)、求证：平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 所成夹角的大小与 $∠ A P B$ 相等；

(3)、若 $A C = \sqrt{2}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $A F B$ 所成角的大小.

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为4，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}, A, B$ 是双曲线 $C$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，且点 $A$ 在第一象限，点 $T$ 的坐标为 $(3, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $∠ A T B = 90^{\circ}$ ，求 $△ A T B$ 的面积；

(3)、记直线 $A T, B T$ 与双曲线 $C$ 的另一个交点分别为 $P, Q$ ，直线 $A B, P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{2} = λ k_{1}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 若整数数列 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k} (k \in N_{+})$ 满足对任意的 $i \in \{0, 1, \dots, k\}, a_{i}$ 的值恰好为 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}$ 中数字 $i$ 出现的次数（数字不拆分统计，如10不计入0，1的出现次数），则我们称该数列是“自洽”的.例如，当 $k = 4$ 时，有如下数列是“自洽”的： $a_{0} = 2, a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 0, a_{4} = 0$ 这表示，在 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{4}$ 中，0和2出现了2次，1出现了1次，3和4出现了0次.现已知一个 $n + 1$ 项数列 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ 是“自洽”的.

(1)、求证： $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} = n + 1$ ；

(2)、当 $n = 3$ 时，直接写出所有满足条件的数列（无需证明）；

(3)、当 $n > 5$ 时，求该数列的通项公式.

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