浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-12-04 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = \{x | x < 4, x \in N\}, A = \{0,1, 2\}, B = \{2,3\}$ ，则 $B \cup (∁_{U} A)$ 等于（）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2 ， 3\}$ C、 $\emptyset$ D、 $\{0 ， 1 ， 2 ， 3\}$

查看试题解析
2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

查看试题解析
3. 已知过原点的平面 $α$ 的一个法向量是 $\overset{⃑}{m} = (- 2, - 1, 2)$ ，点 $P (2, 2, 0)$ 是平面 $α$ 外的一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
4. 已知点A为曲线 $y = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的动点，B为圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

查看试题解析
5. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ B、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}]$ C、 $f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ D、 $f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3)$

查看试题解析
6. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，若点 $P$ 在第二象限，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

查看试题解析
7. 如图所示，点 $A (1, 2)$ ， B均在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，等腰直角 $△ A B C$ 的斜边为 $B C$ ，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
8. 在三棱锥中 $P - A B C$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，且 $A B ⊥ B C$ ．记直线 $P A$ ， $P C$ ， $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，已知 $β = 2 α = 60 °$ ，当三棱锥 $P - A B C$ 的体积最小时， $\tan γ =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{34}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）

A、甲与乙互斥 B、乙与丙互斥 C、甲与乙独立 D、甲与乙对立

查看试题解析
10. 设 $k \in R$ ，过定点A的动直线 $l_{1}$ ： $x + k y = 0$ 与过定点B的动直线 $l_{2}$ ： $k x - y + 3 - k = 0$ 交于点P，则下列说法正确的有（）

A、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} = 16$ B、 $△ P A B$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{|P A|} + \frac{1}{|P B|} \geq \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $|P A| + \sqrt{3} |P B|$ 的最大值为 $2 \sqrt{10}$

查看试题解析
11. 如图所示，双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{16} = 1 (y > 0)$ 与抛物线 $y = 6 - \frac{x^{2}}{4}$ 围成封闭曲线 $E$ ，若对于 $y$ 轴上一定点 $A (0, a)$ ， $E$ 上恰有 $3$ 对不同的点关于点 $A$ 对称，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $3$ D、 $\frac{7}{2}$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 直线 $l : x \tan \frac{π}{5} + y - 1 = 0$ 的倾斜角 $α =$ .

查看试题解析
13. 已知不共线的平面向量 $\vec{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ 两两所成的角相等，且 $|\vec{a}| = 1 ， |\vec{b} |= 4 ，| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{7}$ ，则| $\overset{⃑}{c}$ |=.

查看试题解析
14. 已知抛物线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ， $F$ 为其焦点，点 $N$ 坐标为 $(0, - 4)$ ，过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $D$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $|D A| = |D B| = |D N|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $\frac{a + b}{\sin (A + B)} = \frac{a - c}{\sin A - \sin B}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
16. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦长；

(2)、已知过原点的动直线与圆 $C_{1}$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，求线段AB的中点M的轨迹方程．

查看试题解析
17. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}, \vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

查看试题解析
18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C = C D = 2 A B = 2$ ， △ $P A D$ 是等边三角形， $M, N$ 分别为 $B C, P D$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）若二面角 $P － A D － C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值．

查看试题解析
19. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为B， $△ A_{2} B F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，且 $k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3})$ ，求 $△ P Q F_{1}$ 面积的取值范围．

查看试题解析