广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试高三数学试题

试卷更新日期：2026-05-27 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 ${(1 + i)}^{3}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = \{x |1 + \frac{x}{x - 1} > 0\}$ ， $B = \{- 2, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2\}$

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3. 已知点 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点，若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 到 $F$ 的距离为 $4$ ，则点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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4. 已知 $O A$ 为球 $O$ 的半径， $M$ 为线段 $O A$ 上的点，且 $A M = 2 M O$ ，过 $M$ 且垂直于 $O A$ 的平面截球面得到圆 $M$ ，若圆 $M$ 的面积为 $8 π$ ，则 $O A =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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5. 已知 $α$ 是第一象限角，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{4}) =$ （　　）

A、 $\frac{17 \sqrt{2}}{50}$ B、 $- \frac{31 \sqrt{2}}{50}$ C、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{50}$ D、 $\frac{31 \sqrt{2}}{50}$

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6. 5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（）种不同的分配方法

A、24 B、48 C、96 D、12

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7. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点．若 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A H} = 2 \vec{H E}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{6}{13} \vec{a} + \frac{9}{13} \vec{b}$ B、 $- \frac{2}{13} \vec{a} + \frac{3}{13} \vec{b}$ C、 $- \frac{9}{13} \vec{a} + \frac{6}{13} \vec{b}$ D、 $- \frac{3}{13} \vec{a} + \frac{2}{13} \vec{b}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、若定点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 满足 $| F_{1} F_{2} | = 8$ ，动点P满足 $|P F_{1} |+| P F_{2}| = 8$ ，则动点P的轨迹是椭圆 B、若定点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 满足 $|F_{1} F_{2}| = 8$ ，动点M满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 10$ ，则动点M的轨迹是椭圆 C、当 $1 < k < 4$ 时，方程 $\frac{x^{2}}{4 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ 表示椭圆 D、若动点M的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 $(\pm \sqrt{2}, 0)$

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10. 互不相等的一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 成等差数列，公差为 $d$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{3}, x_{5}$ 的平均数 B、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的上四分位数和下四分位数之差为 $2 d$ C、从 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为 $\frac{2}{5}$ D、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的标准差为2，可得 $d = \sqrt{2}$

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11. 下列命题正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 均为等差数列，则数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等差数列 B、若数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 是公比相同的等比数列，则数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等比数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${2^{a_{n}}}$ 为等比数列 D、存在非零实数 $λ$ 使得数列 ${\frac{1}{2^{n} + λ}}$ 为等比数列

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 和双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦点相同，则 $m =$ .

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13. ${(x^{2} - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数是.（用数字作答）

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14. 若函数 $y = \frac{a^{x} + 1}{2^{x}}$ 为偶函数，则正实数 $a$ 的值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 、 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，且长轴长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过椭圆 $C$ 的右焦点 $F (1, 0)$ 作倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆相交于 $M$ ， $N$ 两点，求线段 $M N$ 的长．

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17. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，由 $C$ 的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $N (0, 3)$ ，过点 $M (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $A$ ， $B$ ．证明： $k_{N A} + k_{N B} = 0$ ．

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18. 已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d \neq 0$ ， $\{a_{n}\}$ 中的部分项 $a_{k_{1}}, a_{k_{2}}, \dots \dots, a_{k_{n}}$ 恰为等比数列，且公比为 $q$ ，若 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 6$ ， $k_{3} = 16$

(1)、求 $q$ ；

(2)、求数列 $\{k_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项之和.

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19. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 ${k | b_{k} = a_{m} + a_{1} ， 1 \leq m \leq 500}$ 中元素个数．

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