广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2026-01-30 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在空间直角坐标系中，点 $P (1, 3, 6)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是

A、 $(1, 3, - 6)$ B、 $(- 1, 3, - 6)$ C、 $(- 1, - 3, 6)$ D、 $(1, - 3, - 6)$

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2. 已知直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 2)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x + y + 2 = 0$ B、 $2 x + y - 2 = 0$ C、 $2 x - y - 2 = 0$ D、 $2 x - y + 2 = 0$

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3. 若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} + 3 \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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4. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ ，则它的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{5}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

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5. 若抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上的点 $P (m, n) (m > 0)$ 到其焦点 $F$ 的距离为 $3$ ，则实数m的值为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、3 $\sqrt{2}$

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6. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两垂直， $A B = A C = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B D$ ， $C D$ 的中点，则异面直线 $E C$ ， $A F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{205}}{15}$

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7. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的上顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与直线 $A F$ 平行，若 $C$ 上有且仅有三个点到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $\sqrt{2} x + y + \sqrt{2} = 0$ B、 $\sqrt{2} x + y - \sqrt{2} = 0$ C、 $\sqrt{2} x - y - \sqrt{2} = 0$ 或 $\sqrt{2} x - y + \sqrt{2} = 0$ D、 $\sqrt{2} x + y + \sqrt{2} = 0$ 或 $\sqrt{2} x + y - \sqrt{2} = 0$

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8. 已知直线 $l_{1} : m x + y + 3 m = 0$ 和 $l_{2} : x - m y + 3 m - 1 = 0$ ， $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的交点记为 $P$ ，若点 $Q (2, \frac{3}{2})$ ，则 $| P Q |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 2, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) / / \vec{a}$ B、 $| \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 3 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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10. 已知点 $P$ 是双曲线 $E :$ $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，若△ $P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $15 \sqrt{3}$ ，则（）

A、点 $P$ 的纵坐标为 $- 3 \sqrt{3}$ B、△ $P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $30$ C、△ $P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\sqrt{3}$ D、 $∠ F_{1} P F_{2}$ 大于 $\frac{π}{4}$

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11. 记各项为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} + T_{n} = λ$ （ $λ > 0$ ），则（）

A、若 $5 a_{2} = 4 a_{1}$ ，则 $λ = 3$ B、当 $λ = 1$ 时， $a_{n} = \frac{n}{n^{2} - {(- 1)}^{n}}$ C、 ${a_{n}}$ 可能为等比数列，亦可能为等差数列 D、若数列 $\{\frac{1}{T_{n}}\}$ 为等差数列，则 $λ = 1$ ，或 $λ = 2$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x + m = 0$ ， $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 外切，则 $m =$ .

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = \frac{n}{2} - 1$ ， $b_{n} = \frac{n}{3} - 2$ ，将 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的公共项按从小到大依次排列得到新的数列 $\{c_{n}\}$ ，则 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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14. 记动椭圆 $C :$ $x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $C$ 上存在点 $M (x_{0}, y_{0})$ 使得 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ，且 $x_{0}$ 的取值范围为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知在平面直角坐标系中点 $A (- 1, 2)$ 与点 $B (4, 7)$ 均在圆 $O_{1}$ 上.

(1)、求线段 $A B$ 的垂直平分线方程；

(2)、若圆心 $O_{1}$ 在直线 $3 x - 2 y - 8 = 0$ 上，且过点 $M (3, 4)$ 的直线 $l$ 被圆 $O_{1}$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ ，求 $l$ 的方程.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\frac{3}{4} a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为单调递增数列，且 $c_{n} = \{\begin{matrix} \begin{matrix} a_{n}, & n 为奇数 \end{matrix} \\ \begin{matrix} l o g_{2} a_{n}, & n 为偶数 \end{matrix} \end{matrix}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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17. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B_{1} B$ 是等边三角形， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明：平面 $A C B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、点 $F$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上一动点，若直线 $C F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $B_{1} C F$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n - 1} b_{2} + a_{n} b_{1} = (n + 1) \cdot b_{n}$ ，且 $b_{n} = k^{n} (k \in R$ ，且 $k \neq 0)$ ．

(1)、若数列 $\{b_{n} + 3^{n}\}$ 为等比数列，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 2$ 时，
（i）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（ii）设 $c_{n} = \frac{\log_{2} (2 a_{n + 2})}{b_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1} \cdot \log_{2} (2 a_{n + 1})} (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} \in [\frac{3}{4}, 1)$ ．

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19. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 经过点 $(2, 2)$ ， $O$ 为抛物线的顶点，点 $A$ ， $B$ 在抛物线上，以 $A$ ， $B$ 为切点的两条切线交于点 $Q$ .

(1)、求 $p$ 的值及 $C$ 的准线方程；

(2)、设直线 $A B$ 分别与直线 $O Q$ ， $x$ 轴的交于点 $S$ ， $T$ （ $S$ ， $T$ 不重合），且 $A B ⊥ O Q$ .
（i）证明：存在定点 $D$ ，使得 $|D S|$ 为定值；
（ii）求 $\frac{|Q S|}{|S T|}$ 的最小值.

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