甘肃省酒泉市金塔县中学2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（9月）数学试题

试卷更新日期：2025-09-27 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 3 n^{2} + n$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、140 B、120 C、40 D、52

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2. 数列 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{15}$ ， $\frac{6}{35}$ ， $\frac{8}{63}$ ， $\frac{10}{99}$ ， $\dots$ 的第8项是（）．

A、 $\frac{14}{195}$ B、 $\frac{16}{255}$ C、 $\frac{18}{323}$ D、 $\frac{20}{399}$

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3. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n + \frac{64}{n}$ ，则下列各数是 $\{a_{n}\}$ 的项的是（）

A、18 B、20 C、32 D、66

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4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和.若 $S_{3} = 6, S_{5} = - 5,$ 则 $S_{6} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 15$ C、 $- 10$ D、 $- 5$

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5. $S_{n} = - n^{2} + 8 n$ ，则数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $12$ 项和为（）

A、112 B、48 C、80 D、64

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6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} + 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2 a_{n} \cdot b_{n} = 1$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前50项的和为（）

A、 $\frac{50}{51}$ B、 $\frac{1}{50}$ C、 $\frac{50}{101}$ D、50

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7. 已知各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} + a_{n} > 2 a_{n + 1}$ ．若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{m} = 2025$ ，则正整数m的最大值为（）

A、63 B、64 C、65 D、66

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8. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $a_{2} = 4$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为1的等差数列 C、数列 ${2^{a_{n}}}$ 是公比为4的等比数列 D、数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前2025项和为 $- 2026$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差 $d \neq 0$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $d = 2$ B、 $a_{1} = 4$ C、 $a_{n} = 2 n - 6$ D、若 $S_{n} > 0$ ，则 $n$ 的最小值为6

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10. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $q$ 为 $\{a_{n}\}$ 的公比， $q > 0 .$ 若 $S_{3} = 7, a_{3} = 1$ ，则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、 $a_{5} = \frac{1}{9}$ C、 $S_{5} = 8$ D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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11. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，若数列 $\{a_{n} + S_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{\frac{ln a_{n}}{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 为递增数列 D、数列 $\{n (n - 1) a_{n}\}$ 的最大项是第3项

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ （ $n$ 为正整数），则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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13. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7, 3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $S_{10} =$ .

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14. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n + 1} - 3$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和.

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $a_{4} = b_{2}$ ， $S_{3} = 15$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n} \cdot b_{n} ， n 为奇数 \\ \frac{(3 - 4 n) b_{n}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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17. 已知各项均不为0的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ，令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n} ， T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若 $3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3} ， S_{3} + T_{3} = 21$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $S_{99} - T_{99} = 99$ ，求 $d$ .

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19. 无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项按如下规律排列： $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \cdot \cdot \cdot, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdot \cdot \cdot, \frac{k - 1}{k}, \cdot \cdot \cdot, k \geq 2, k \in N_{+}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{16}$ ．

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的各项为 $a_{1}, a_{2} + a_{3}, a_{4} + a_{5} + a_{6}, a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10}, \cdot \cdot \cdot$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

(3)、是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n} < 10$ ， $S_{n + 1} \geq 10$ 成立？若存在，求 $a_{n}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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