2026年湖南邵阳市高三下学期第二次联考数学试题

试卷更新日期：2026-03-22 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x| x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| y = \log_{2} (2 - x)\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 2)$ D、 $(- \infty, 3]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = 2$ B、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、复数 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$ D、将复数 $z$ 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ ，所得向量对应的复数为 $\sqrt{2} i$

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3. 在平行四边形ABCD中，点 $E$ 在线段AC上，且 $A E = \frac{2}{3} A C$ .若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、24种 B、36种 C、64种 D、72种

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5. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x + \frac{2 π}{3}) = f (x)$ B、 $f (x + \frac{2 π}{9}) = f (\frac{2 π}{9} - x)$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{18}, 0)$ 中心对称

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6. 已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内的一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30 °$ .若 $△ M B C$ ， $△ M C A$ 和 $△ M A B$ 的面积分别为1， $x$ ， $y$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{8}{y} + \frac{x}{y}$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{3} + 2$ B、9 C、15 D、20

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln (e^{2 x} + 1), x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，则 $g (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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8. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ 是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论成立的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、 $|A F_{1}| \cdot |A F_{2}| \leq 4$ C、 $|A B|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、存在直线 $l$ ，使得 $A B ⊥ A F_{2}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B、若随机变量 $X ~ B (6, p)$ ， $E (X) = 4$ ，则 $D (X) = \frac{4}{3}$ C、某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D、一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 $\frac{16}{33}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\cos C}{\cos B} + \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{2 a}{b}$ ， $\sin A \sin C = \frac{9}{2 b^{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $D$ 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\cos A + \cos B + \cos C$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、若点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{B O} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ， $c = 2$ ，则 $λ = \frac{1}{6}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ .当 $∠ A O P$ 取最大值时， $|O P| =$ .

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13. 已知 $\cos (\frac{π}{4} - x) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{2 \sin^{2} x + \sin 2 x}{\tan x + 1} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b x - c$ （ $a > 0$ ， $b$ ， $c \in R$ ），若 $f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $\frac{b^{2026} c}{a^{2027}}$ 的最大值为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{3} = a_{4} + 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} + a_{n}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，并证明数列 $\{b_{n} + n\}$ 是等比数列；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.
单位：人
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校

10
50
乙校

10
70
合计

表（一）

(1)、完成表（一）列联表，依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？

(2)、已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 $\frac{1}{2}$ .若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P B = P D$ ， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 1$ ， $B C = 6$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上， $B E = 2 D E$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $C E ⊥ P B$ ；

(2)、设点 $Q$ 是三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的球心，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积是 $7 \sqrt{2}$ ，求直线 $Q C$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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18. 已知双曲线 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，右焦点为 $F (2, 0)$ ，直线 $l$ 与 $E$ 相切于点 $P$ .

(1)、若 $l$ 与 $E$ 的渐近线分别交于 $A$ ， $B$ 两点，证明：点 $P$ 为线段AB的中点；

(2)、已知直线 $l_{1}$ ： $x = 2$ ， $l_{2}$ ： $x = \frac{3}{2}$ ，若 $l$ 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $|M F| = λ |N F|$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - a (a \in R)$ 有两个零点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} > a e + 1$ ；

(3)、设函数 $h (x) = k x^{3} + 2 x$ ， $k \in R$ ，若 $h (x)$ 与 $f (x)$ 的图象有两个交点 $M (m, s)$ ， $N (n, t)$ ，试比较 $m n$ 与 $4 e^{2}$ 的大小.（参考数据： $e \approx 2.72$ ， $\ln 2 \approx 0.7$ ）

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学校	数学成绩		合计
学校	不优秀	优秀	合计
甲校		10	50
乙校		10	70
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828