浙江省绍兴市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

试卷更新日期：2026-02-09 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x |x^{2} < 3\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \geq 0$

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3. 半径为 $12 mm$ 的圆上，有一条弧的长是 $24 mm$ ，则该弧所对的圆心角的弧度数为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. “ $a > b$ ”是“ $a > \frac{a + b}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $sin (θ + π) = - \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$

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6. 函数 $y = (e^{x} - e^{- x}) cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) \cdot f (x + 3) = 3$ ，且 $f (1) = 2$ ，则 $f (40) =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 已知两两不相等的实数 $m_{i}$ 、 $n_{i} (i = 1, 2, 3)$ 满足 $m_{i} < n_{i}$ ，且 $m_{1} + n_{1} = m_{2} + n_{2} = m_{3} + n_{3}$ ，若 $m_{1} n_{1} + m_{3} n_{3} = 2 m_{2} n_{2}$ ，则（）

A、 $n_{1} + n_{3} > 2 n_{2}$ B、 $n_{1} + n_{3} < 2 n_{2}$ C、 $n_{1} n_{3} > n_{2}^{2}$ D、 $n_{1} n_{3} < n_{2}^{2}$

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二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则（）

A、 $0 < x < 1$ B、 $0 < y < \frac{1}{2}$ C、 $x y \geq \frac{1}{8}$ D、 $x^{2} + 4 y^{2} \geq \frac{1}{2}$

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10. 设函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的其中一个零点是 $x = - \frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 ${[f (- \frac{π}{6})]}^{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

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11. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1， $M$ ， $N$ 分别是边 $A B$ ， $A D$ 上的动点（不含端点），记 $A M = a$ ， $A N = b$ ， $M N = c$ ， $∠ M C N = θ$ ，则（）

A、若 $θ$ 为定值，则 $a$ 是关于 $b$ 的减函数 B、若 $a$ 为定值，则 $θ$ 是关于 $b$ 的增函数 C、若 $a + b = 1$ ，则 $tan θ = \frac{3}{4}$ D、若 $a + b + c = 2$ ，则 $θ = \frac{π}{4}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. $4^{\frac{1}{2}} + lg 10 =$ .

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13. 已知 $sin (\frac{π}{6} + θ) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{π}{3} < θ < \frac{5 π}{6}$ ，则 $cos θ =$ .

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14. 若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (x - a) (x - 2 a), x < 1, \\ {log}_{2} (x + 1) + a, x \geq 1 \end{array}$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知函数 $f (x) = sin x cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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16. 对于实数 $a < b$ ，规定区间 $(a, b)$ ， $[a, b)$ ， $(a, b]$ ， $[a, b]$ 的长度均等于 $b - a$ .

(1)、若集合 $A = {x | | x + 1 ∣\leq 2}$ ， $B = \{x ∣ \frac{x - 2}{x} < 0\}$ ，求 $A \cup B$ 的区间长度；

(2)、若函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{0.5} (4 x - 3)}$ 的定义域为区间 $C$ ，求 $C$ 的区间长度.

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17. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 满足 $f (0) = f (2)$ .

(1)、证明： $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间（不要求证明）；

(3)、若 $f (x + 1) \geq f (\frac{3}{2})$ ，求 $x$ 的取值范围.

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18. 设 $a \in R$ ， $A = [a, + \infty)$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x (x - a), x \in A \\ x (a - x), x \notin A \end{array}$ ，对于集合 $P \subseteq R$ ，记 $f [P] = {f (x) | x \in P}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f [A]$ 和 $f [∁_{R} A]$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ，设 $B = [b, + \infty)$ ，若 $f [A] = f [B]$ ，求 $b$ 的最小值；

(3)、若 $\forall P \subseteq R$ ，都有 $∁_{R} f [P] = f [∁_{R} P]$ ，求 $a$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} sin x + \sqrt{1 + x} cos x$ ， $x \in [0, 1]$ ，此时设 $sin φ = \sqrt{\frac{1 + x}{2}}$ .

(1)、求 $f (0)$ ， $f (1)$ 及 $\sin φ$ 的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < \frac{π}{3}$ .

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