湖南省湘潭市2026届高三二模数学试题

试卷更新日期：2026-02-10 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设不等式 $x^{2} + 3 x \leq 10$ 的解集为 $M$ ，则（）

A、 $\sqrt{3} \in M$ B、 $- 6 \in M$ C、 $1 \notin M$ D、 $\sqrt{6} \in M$

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2. 若直线 $m^{2} x - 8 y - 1 = 0$ 与直线 $m^{3} x + 4 y - 7 = 0$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第 $80$ 百分位数与中位数分别是（）

A、4，6 B、5，4 C、6，4 D、6，5

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4. 若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}$ ，则 $tan α =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{12}$

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5. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 4$ ，则（）

A、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 2$ B、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 4$ C、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 2$ D、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 4$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a^{2} + b^{2} = 4$ ，且 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + a b$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}{x + 2}$ 的值域是 $[a, b]$ ，则 $b - a =$ （）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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8. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \frac{3}{4} A_{1} B_{1} = 3 \sqrt{2}$ ，且 $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，记能将正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 罩住的半球的最小半径为 $R_{1}$ ，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的半径为 $R_{2}$ ，则 $\frac{R_{2}}{R_{1}} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 后，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $φ = \frac{π}{10}$ B、 $g (x) = 3 cos (2 x - \frac{2 π}{5})$ C、 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = - \frac{π}{10} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{3 π}{10} + k π, \frac{π}{5} + k π] (k \in Z)$

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10. （多选题）定义：当 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $f (x_{1}) f (x_{2}) > 0$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ B、 $f (x) = \tan x$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ D、 $f (x) = \lg (2^{x} - 1)$

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11. 已知 $Q$ ， $R$ 是双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 上两个不同的点， $P$ 是 $C$ 的左顶点，则（）

A、 $C$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ B、当 $Q R ⊥ x$ 轴时， $P Q$ 与 $P R$ 可能垂直 C、当 $|P Q| = |P R| = 3$ 时， $Q$ ， $R$ 的横坐标之和的取值集合为 $\{- 1 - \sqrt{19}, - 1, - 1 + \sqrt{19}\}$ D、当 $Q$ ， $R$ 的纵坐标异号时，对任意的点 $Q$ ，都存在点 $R$ ，使得 $∠ P Q R = 120 °$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $|2 - 3 i| =$ ．

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13. 若直线 $y = k x$ 是曲线 $y = \frac{1}{2} e^{2 x}$ 的一条切线，则 $k =$ ．

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14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个 $3 \times 3$ 的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足 $a_{11} < a_{12} < a_{13}$ ，第三行数字满足 $a_{31} < a_{32} < a_{33}$ ，第三列数字满足 $a_{13} < a_{23} < a_{33}$ ，则符合要求的填数方法共有种．（用数字作答）
$a_{11}$
$a_{12}$
$a_{13}$
$a_{21}$
$a_{22}$
$a_{23}$
$a_{31}$
$a_{32}$
$a_{33}$

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q < 0$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 1$ ，且 $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 9 ．$

(1)、求 $q$ 的值；

(2)、若 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ ， $a_{n + 2} - λ a_{n}$ 成等差数列，求 $λ$ 的值；

(3)、设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{2 n} > - \frac{63}{4}$ ．

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16. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ， $B C / / A D$ ， $△ C A E$ 是以 $C E$ 为斜边的等腰直角三角形．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、若 $A E = 5$ ， $A B = 4$ ，且直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $45 °$ ，求直线 $B D$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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17. 某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．

(1)、若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．

(2)、若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．

(3)、已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为 $X$ 元，若 $X$ 的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．

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18. 设抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x$ （ $p$ 为常数，且 $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上且位于第一象限，过点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、若点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，求 $|H F|$ ．

(2)、设过 $F$ ， $A$ ， $H$ 三点可作椭圆 $C_{2}$ ，且 $C_{2}$ 的两个焦点均在 $x$ 轴上，记 $x$ 轴正半轴上的焦点为 $B$ ，且 $B$ 在 $F$ 的左侧．
（ⅰ）证明： $△ A H B$ 的周长为定值．
（ⅱ）证明： $C_{2}$ 的离心率大于 $\frac{1}{4}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x - a x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = 2 ln x - x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $g (x) < 0.$

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

(3)、若 $a = 0$ ，且 $b + cos [ln (1 + θ)] = f (sin θ)$ ，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，证明： $b + 2 sin θ < 2 tan θ$ ．

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$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$
$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$
$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$