四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷

试卷更新日期：2026-03-24 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1. 已知集合 $P = \{x |- 2 \leq x \leq 3\} ， Q = \{x |x > a\}$ ，若 $P \cap Q = \emptyset$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ B、 $a < 0$ C、 $a \geq 3$ D、 $a > 3$

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2. 当 $\frac{1}{2} < m < 1$ 时，复数 $m (1 + 2 i) - (1 + i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{m} = (- 1, 2)$ ， $\vec{n} = (x^{2}, x)$ ，若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $x =$ （）

A、0或 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 若两条直线 $l_{1} : y = 2 x + m ， l_{2} : y = 2 x + n$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 的四个交点能构成矩形，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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5. 若 $\frac{1 - \tan θ}{1 + \tan θ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin^{4} θ - \cos^{4} θ$ ＝（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 某知识过关题库中有 $A, B, C$ 三种难度的题目数分别为 $300, 200, 100$ ，其中小明完成 $A, B, C$ 型题目的正确率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}$ ，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{7}$

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7. 若 $\log_{2} a - a + a^{2} = \log_{2} b - b + 4 b^{2} + 1$ ，则（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > b + 1$ D、 $a < b + 1$

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8. 过点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作曲线 $y = ln (x + 1)$ 的两条切线，记两切点分别为 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2}), x_{1} \neq x_{2}$ ，若两条切线斜率之积为1，则 $\frac{y_{0} + 1}{x_{0} + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的．

9. 下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、若 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (0, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(0, 3)$ C、两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = 2 \vec{P O}$ ，则 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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10. 设函数 $f (x) = {(3 x - 1)}^{9}$ ，且记 $f (x) = a_{10} x^{9} + a_{9} x^{8} + \cdot \cdot \cdot + a_{2} x + a_{1}$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1 B、数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为512 C、数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的前10项和为 $- 4^{9}$ D、数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n - 1}}\}$ 的前10项和为0

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11. 已知关于x的方程： $|(x + 1) e^{x} - 1| = m x + m (x > - 1)$ 有两个根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $- 1 < x_{1} < 0 < x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} < 0$ C、 $x_{1} + 1 < \frac{1}{m}$ D、 $\ln m < x_{2} < e m$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 已知随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X > - 2) + P (X > 6) = 1$ ，则 $μ =$

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13. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点，则点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的最短距离是

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14. $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ 被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如： $\cos 2 x + i \sin 2 x = e^{i \cdot 2 x} = {(e^{i x})}^{2} = {(\cos x + i \sin x)}^{2}$ $= \cos^{2} x - \sin^{2} x + i \cdot 2 \sin x \cos x$ .类比方法，我们可以得到 $\cos 5 x$ ＝（用含有 $\cos x$ 的式子表示）．

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四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积 $S = \frac{1}{2} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) \sin B$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 4$ 时，求△ABC面积的最大值．

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16. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E在线段 $A_{1} D_{1}$ 上，且 $∠ E D A = ∠ E A D ，$ F，G分别为线段 $B C$ ， $A D$ 的中点，且底面 $A B C D$ 为正方形.

(1)、求证：平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $E F G$

(2)、若 $E F$ 与底面 $A B C D$ 不垂直，直线 $E D$ 与平面 $E B C$ 所成角为 $45 ° ，$ 且 $E B = A B = 2 ，$ 求点 A 到平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的距离.

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17. 东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是 $\frac{3}{5}$ ，游客之间选择意愿相互独立．

(1)、从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；

(2)、东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为 $P_{n}$ （不考虑人流量有限的限制）．
①求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ；
②求 $P_{n}$ ．

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18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的左、右顶点分别为 $A (- 3, 0), B (3, 0)$ ， F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{5}{9}$ ，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求 $△ P A Q$ 面积的最大值；

(3)、若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} + λ k_{2} = 0$ 成立？若存在，请求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a \sin x + \cos x$ （ $x \in [0, + \infty)$ ），记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n$ （ $n \in N^{*}$ ）个零点．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $x_{n}$ ；

(2)、若 $g (x) = \frac{1}{a} e^{a x} [f (x) - \cos x]$
证明：（i）数列 $\{g (x_{n})\}$ 是等比数列；
（ii）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2} - 1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*} ， x_{n} < |g (x_{n})|$ 恒成立．

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