01不等式恒成立、能成立问题（精练）--高考数学二轮复习

试卷更新日期：2026-03-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若不等式 $m x^{2} + m x - 4 < 2 x^{2} + 2 x - 1$ 对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 10 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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2. “ $0 < a < 2$ ”是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 1 > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若不等式 $(a - 2) x^{2} - 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则实数a取值的集合( )

A、 $\{a | a \leq 2\}$ B、 $\{a | - 2 < a < 2\}$ C、 $\{a | - 2 < a \leq 2\}$ D、 $\{a | a \leq - 2\}$

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4. 若 $\exists x \in [- 1 ， 2]$ ，使得不等式 $x^{2} - 2 x + a < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 3$ B、 $a < 0$ C、 $a < 1$ D、 $a > - 3$

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5. 若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2} ， 3)$ ，则 $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} < 0$ 成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $- \frac{1}{2} < x < 3$ B、 $- \frac{1}{2} < x < 0$ C、 $- 3 < x < \frac{1}{2}$ D、 $- 1 < x < 6$

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6. 已知使不等式 $x^{2} + (a + 1) x + a ⩽ 0$ 成立的任意一个x，都满足不等式 $3 x - 1 ⩽ 0$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}]$

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7. 已知当 $x > 0$ 时， $x e^{x} - 2 x \geq a + 2 ln x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（　　）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 2 + 2 ln 2]$ C、 $(- \infty, 2 \ln 2]$ D、 $(- \infty, 2 - 2 ln 2]$

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8. 对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $(e^{x} + x - a - ln a) (x^{2} - e^{x} - a x + a) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $e$

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二、填空题

9. 对 $\forall x \in R$ ，不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 恒成立，则a的取值范围是

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10. 命题“ $a x^{2} - 2 a x - 3 > 0$ 不成立”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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11. 设函数 $f (x) = x (x - 1) (x - a)$ （其中 $a > 1$ ）有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 若关于x的不等式 $ln x \leq \frac{1}{a} x^{2} - b x + 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值是.

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13. 设实数 $m > 0$ ，若对 $\forall x \in (0, + \infty),$ 不等式 $e^{m x} - \frac{\ln x}{m} \geq 0$ 恒成立，则m的取值范围为．

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三、解答题

14. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - x + 1 - a \leq 0$ ．
（1）当 $a > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式；
（2）当 $2 \leq x \leq 3$ 时，不等式 $a x^{2} - x + 1 - a \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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15. 定义：若函数 $f (x)$ 对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in D$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq | x_{1} - x_{2} |$ 成立，则称 $f (x)$ 为 $D$ 上的“淡泊”函数.

(1)、判断 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x$ 是否为 $[- 1 ， 1]$ 上的“淡泊”函数，说明理由；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使 $f (x) = \frac{k}{x + 2}$ 为 $[- 1 ， + \infty)$ 上的“淡泊”函数，若存在，求出 $k$ 的取值范围；不存在，说明理由；

(3)、设 $f (x)$ 是 $[0 ， 1]$ 上的“淡泊”函数（其中 $f (x)$ 不是常值函数），且 $f (0) = f (1)$ ，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq a$ 成立，求 $a$ 的最小值.

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16. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）当 $a < 0$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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17. 设函数 $f (x) = e^{x + a} + a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在大于0的零点，求a的取值范围；

(2)、设点 $(m, n)$ 在曲线 $y = f (x)$ 的任意一点的切线上，证明： $f (m) \geq n$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x - e^{2 x} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明：对任意的 $x \in [0, + \infty), f (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{2} x^{2} - sin x$ ；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + 4 a e^{x} (a \in R)$ 有且仅有一个零点，证明：方程 $4 x^{2} + 8 a x + 3 a = 0$ 无实数根.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x - a$ ，其中 $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明：对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $f (x) > \frac{1}{2} x^{2} - x + 1$ ；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \geq 0$ ，求a的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - x \ln x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f^{'} (x)$ 存在两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，证明： $x_{1} + x_{2} > 1$ ．

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