江苏省高邮市2024-2025学年高一下学期期中学情调研测试数学试卷

试卷更新日期：2025-04-22 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 函数 $y = 3 x - 2$ 的零点是（）

A、 $- 2$ B、 $(0, - 2)$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $(\frac{2}{3}, 0)$

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2. $\cos 15 ° \cos 45 ° + \sin 15 ° \sin 45 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的非零向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $- 8$

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4. $\frac{1 - 2 \sin^{2} 35^{\circ}}{\sqrt{1 - \sin 40^{\circ}} - \cos 20^{\circ}}$ 的值等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $P$ 在线段 $B C$ 上，满足 $2 \vec{B P} = \vec{P C}$ ， $O$ 为线段 $A P$ 上一点，且 $\vec{B O} = \frac{1}{3} \vec{B A} + λ \vec{B C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 10$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的a的值可以为（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{2 \sin C}{\sin A + \sin B} = \frac{a - b}{c}$ ，则角 $C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，点D是边 $A C$ 的中点，且 $B D = 2 \sqrt{3}$ ，若点P为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P B} \cdot (\vec{P A} + \vec{P C})$ 的最小值是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- 6$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列有关向量的说法，正确的有（）

A、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{B C}$ 的夹角为60° B、两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 C、若 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 6)$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 D、已知非零向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{D C}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ，则A，B，C，D四点构成一个梯形

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10. 已知 $\frac{\sin α}{\sin α - \cos α} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\tan α = \frac{4}{3}$ B、 $\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{7}$ C、 $\cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\cos 2 α = - \frac{7}{25}$

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11. 如图，已知 $⊙ O$ 的内接四边形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $A D = C D = 3$ ，则（）

A、四边形ABCD的面积为 $\frac{21}{4}$ B、该外接圆的半径为 $\frac{\sqrt{57}}{3}$ C、过D作 $D F ⊥ B C$ 交BC于F点，则 $\vec{D C} \cdot \vec{D F} = \frac{27}{4}$ D、 $\vec{B O} \cdot \vec{C D} = - 3$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为45°，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ .

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13. 已知 $\cos (θ - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 θ - \frac{π}{6}) =$ ．

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14. 在非钝角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是 $△ A B C$ 的重心且 $4 - \cos 2 A = 3 \sqrt{3} \sin (B + C)$ ，则角 $A =$ ；若 $b = 4$ ， $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $c =$ .

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，其中 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ ；

(2)、求 $β$ .

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16. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $|\vec{c}| = 5$ ，且 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量（用坐标表示）.

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17. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $C D = 5$ ， $A B = 2$ .

(1)、求线段AC的长度；

(2)、求 $\sin ∠ A D C$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{2} + m$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上有相异两解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
①求实数m的取值范围；
②当 $t = x_{1} + x_{2}$ 时，函数 $g (t) = a \sin t + b \cos t (a b \neq 0)$ 取最大值，设 $\cos θ = \frac{b}{a}$ ，求 $\cos 3 θ$ .

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19. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .已知点P为 $△ A B C$ 的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b^{2} = {(a - c)}^{2} + 6$ ，求 $P A \cdot P B + P B \cdot P C + P A \cdot P C$ 的值；

(3)、若 $A C ⊥ B C$ ， $P A + P B = λ P C$ ，求实数 $λ$ 的最小值.

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