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相关试卷

1、函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} + 8, x \leq 0, \\ \log_{4} x + x - 3, x > 0 \end{cases}$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、已知 $a = {0.5}^{0.1}$ ， $b = \log_{2} 3$ ， $c = \log_{0.3} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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3、设 $α$ 是第一象限的角，则 $\frac{α}{2}$ 所在的象限为（）

A、第一象限 B、第三象限 C、第一象限或第三象限 D、第二象限或第四象限

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4、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x - 2}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ B、 $f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 1}$ ， $g (x) = x + 2$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $g (t) = \frac{t}{t^{2}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = x$

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5、函数 $f (x) = 3^{x} + a$ 与函数 $g (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ，则 $cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7、已知集合 $M = \{0, 1, 2\}, N = \{x \in N^{*} |x < 3\}, M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 3\}$ D、 $\{x |0 < x < 3\}$

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8、已知以下事实：反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．

(1)、求双曲线 $C_{0}$ ： $y = \frac{1}{2 x}$ 的离心率；

(2)、将（1）中的曲线 $C_{0}$ 绕原点顺时针转 $\frac{π}{4}$ ，得到曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程；

(3)、已知点 $A$ 是（2）中曲线 $C$ 的左顶点．圆 $E$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）与直线 $l$ ： $x = 1$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 分别与双曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点．试问：点A到直线 $M N$ 的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时 $r$ 的值；若不存在，说明理由．

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9、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} + \frac{1}{3 a_{n + 1}} = \frac{1}{6}$ ，且 $a_{1} = a_{3}$ ，则 $a_{2024} =$ .

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $N$ 为圆 $E : {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上任意一点，则 $|M N| - |M F_{1}|$ 的最小值为．

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11、已知棱长为3的正四面体 $A - B C D, \vec{A E} = λ \vec{A D}, \vec{B F} = μ \vec{B C}, \vec{E M} = \frac{1}{2} \vec{E F}, λ ， μ \in [0, 1]$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{E F} \cdot \vec{B C} = 0$ B、当 $μ < \frac{1}{2}$ 时， $|\vec{E F}| < \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、当 $|\vec{E F}| = \sqrt{5}$ 时， $λ + μ$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ D、当 $|\vec{E F}| = \sqrt{5}$ 时，则 ${|\vec{A M}|}^{2}$ 的最大值为 $\frac{14 + 3 \sqrt{2}}{4}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 20$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 4$ ， $(n \in N^{*})$ ，则（）

A、4是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 B、当 $S_{n}$ 最大时， $n$ 的值只能取5 C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 D、 $S_{5} = S_{7}$

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13、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{2 + a_{n}}$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} (2 n + 1) a_{n} a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $- \frac{400}{101}$ B、 $\frac{400}{101}$ C、 $\frac{408}{101}$ D、 $- \frac{408}{101}$

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14、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为BC的中点，点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，则 $△ D_{1} E P$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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15、若直线 $k x - y - 2 = 0$ 与曲线 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = x - 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3} ， 2$ ] B、 $(\frac{4}{3} ， 4]$ C、 $[- 2 ， - \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3} ， 2]$ D、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$

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16、以椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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17、下列四个命题，其中真命题是（）

A、点 $M (3, 2, 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是 $(- 3, 2, - 1)$ B、若直线 $a$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (1, 1, 1)$ ，则 $a ⊥ α$ C、若 $\vec{A B} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{A C} = (- \frac{1}{2}, 0, 1)$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为 $2$ D、向量 $\vec{a} = (1, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 1)$ 则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是 $(\frac{1}{3}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

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18、某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车 $x$ 万台（ $0 \leq x \leq 10$ ）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为 $C (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 6 x + 4,0 \leq x \leq 3, \\ 24 x + \frac{144}{x} - 107,3 < x \leq 10 \end{matrix}$ （单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）

(1)、写出年利润 $S (x)$ （亿元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；

(3)、若该企业当年不亏本，求年产量 $x$ （万台）的取值范围．

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19、若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ．
（1）求 $f (x)$ 在R的解析式；
（2）若 $a \in R$ ， $g (x) = f (x) - a$ ，试讨论 $a$ 取何值时 $g (x)$ 有两个零点？a取何值时 $g (x)$ 有四个零点？

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20、计算：
（1） $\frac{6}{5} a^{\frac{1}{3}} b^{- 2} \cdot (- 3 a^{\frac{1}{2}} b^{- 1}) \div {(4 a^{\frac{2}{3}} b^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$
（2） $2 \log_{3} 2 - \log_{3} \frac{32}{9} + \log_{3} 8 - \log_{2} 9 \cdot \log_{3} 2$
（3）已知 $5^{a} = 3, 5^{b} = 4$ ，用a，b表示 $\log_{25} 36$ ．

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