广东省佛山市南海区2025-2026学年高二上学期学业水平测试（12月）数学试题

试卷更新日期：2025-12-20 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (3, 1, 4)$ ，点 $B (2, 1, 2)$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、13 B、15 C、17 D、19

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2. 已知直线 $l$ 经过点 $(2, 1)$ ，且倾斜角为 $45 °$ ，则直线l的方程为（）

A、 $x - y - 3 = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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3. 已知直线 $x + 2 y + a = 0$ 与 $(a - 2) x + 4 y + 1 = 0$ 平行，则a=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = x + 2 \sqrt{2}$ ，则直线l与圆C的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法确定

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5. M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且 $O N = \frac{1}{2} O M$ ，用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示 $\vec{A N}$ ，则 $\vec{A N} =$ （）

A、 $\vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} - \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\vec{O A} - \frac{3}{4} \vec{O B} + \frac{3}{4} \vec{O C}$ C、 $- \vec{O A} - \frac{3}{4} \vec{O B} + \frac{3}{4} \vec{O C}$ D、 $- \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$

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6. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 0), B (2, 0)$ ，若动点P满足 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = 3$ ，则点P的轨迹为（）

A、椭圆 B、圆 C、射线 D、直线

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7. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B D = 2$ ， $A B ⊥ B D$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使二面角 $A - B D - C$ 为直二面角，则A与C之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ， O为坐标原点，右顶点为A，以A为圆心， $A F_{1}$ 为半径的圆与椭圆C交于M，N两点，若 $\cos ∠ M F_{1} A = \frac{1}{4}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．

9. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点E，F分别是棱 $B B_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A D_{1}} = 2 \vec{E F}$ B、 $\vec{A_{1} E} = \vec{A_{1} F}$ C、 $\vec{D E} ⊥ \vec{A D_{1}}$ D、点F到直线 $A D_{1}$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷两次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，A表示事件“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数”，B表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7” ，C表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为8”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A + B) = \frac{19}{32}$ C、A与B独立 D、B与C互斥

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11. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，动圆 $C_{2}$ 的半径为1，其圆心 $(m, n)$ 在直线 $l : \sqrt{3} x + y - 2 \sqrt{3} = 0$ 上，则（）

A、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相切，则 $m = 2$ B、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交，则 $1 < m < 2$ C、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1 D、过圆 $C_{2}$ 的圆心 $(m, n)$ 作圆 $C_{1}$ 的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 点 $(0, 1)$ 到直线 $3 x + 4 y + 1 = 0$ 的距离为．

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13. 某校组织学生参加农村综合社会实践活动，期间有4个实践活动分别为：割稻谷、挖番薯、掰玉米、除杂草，规定每人参加其中2个活动，假设每人参加每个活动的可能性相同，则张同学参加“割稻谷”活动的概率为．

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14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是 $A_{1} C$ 上的动点，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，若 $A$ ， $B_{1}$ ， $P$ ， $E$ 四点共面，则 $\frac{| A_{1} P |}{| A_{1} C |} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知点 $O (0, 0)$ 、 $A (4, 2)$ 、 $B (1, 3)$ ．

(1)、求线段 $O A$ 的垂直平分线方程；

(2)、求 $△ A B O$ 的外接圆的方程．

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16. 甲、乙两人进行投篮比赛，比赛的规则是，每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，若干轮比赛后，最后总得分多的获胜，最后总得分相同则为平局．为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后投篮情况如下表：
甲
乙
投篮次数
$120$
$120$
命中的次数
$80$
$90$
若比赛中每个人投篮命中与否相互之间没有影响，且以频率代替概率．

(1)、估计甲、乙每次投篮命中的概率；

(2)、事件 $A =$ “某轮比赛中甲、乙得分相同”，求 $P (A)$ ；

(3)、求两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率．

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17. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 所在平面垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ C B A = 120^{\circ}$ ， $∠ D B C = 90^{\circ}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．点M是椭圆C上一点，满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 8$ ， O为坐标原点．

(1)、求C的方程；

(2)、设 $T (8, 0)$ ，若C上的一点N与点M不关于x轴对称，且满足 $∠ M T O = ∠ N T O$ ．
（ⅰ）证明：直线MN恒过x轴上的一个点；
（ⅱ）求 $△ M T N$ 面积的取值范围．

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点．

(1)、求点 $B$ 到平面 $A D_{1} E$ 的距离；

(2)、若 $F$ 是线段 $B C$ 上的动点（包括端点 $B$ 和 $C$ ），求 $E F$ 与平面 $A D_{1} E$ 的夹角正弦值的最大值；

(3)、若 $F$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内的动点（包括侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的边界），且平面 $A D_{1} E$ 与平面 $F D_{1} E$ 垂直，判断 $F$ 点的轨迹，并求出轨迹长度．

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	甲	乙
投篮次数	$120$	$120$
命中的次数	$80$	$90$