广东省广州第四中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2026-02-04 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} > 1\}, B = \{x |2^{x} < \frac{1}{2}\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \cap B = {x ∣ x < - 1}$ B、 $A \cap B = {x ∣ - 1 < x < 1}$ C、 $A \cup B = {x ∣ x < - 1}$ D、 $A \cup B = {x ∣ x < 1}$

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2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（）

A、6 B、6.5 C、7 D、7.5

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3. 若 $z (1 + i) = i^{2025}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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4. 正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} = 4, S_{4} = 40$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、6 B、9 C、8 D、11

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5. 已知函数 $f (x) = |2 ln x - 1|$ ，若 $f (a) = f (b), a \neq b$ ，则 $16^{a} \cdot 8^{b}$ 的最小值为（）

A、 $2^{\sqrt{3 e}}$ B、 $16^{\sqrt{3 e}}$ C、 $\sqrt{3 e}$ D、4

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6. 已知向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x = - 3$ ” B、“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x = 1 - \sqrt{3}$ ” C、“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x = 3$ ” D、“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x = 1 + \sqrt{3}$ ”

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7. 若圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上到直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的距离为 $\sqrt{5}$ 的点有且仅有2个，则半径 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \sqrt{5})$ C、 $(\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{7 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(\sqrt{5}, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = sin x$ ，将 $f (x)$ 图象上点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $\forall α \in [- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{4}]$ ，总存在唯一实数 $β \in [0, m]$ ，使得 $g (α) + g (β) = 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{12})$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{12}]$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的有（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 B、在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则 $c, k$ 的值分别是 $4$ 和 $0.3$ D、样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数 $\bar{x} = 4$ ，则样本数据 $2 - 3 x_{1}, 2 - 3 x_{2}, \dots, 2 - 3 x_{n}$ 的平均数为 $- 10$

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10. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F, A, B$ 是抛物线上两动点，下列说法正确的有（）

A、抛物线的焦点坐标为 $F (0, - 1)$ B、若 $|A F| + |B F| = 8$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $x$ 轴的距离为6 C、以线段 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切 D、以点 $A$ 为圆心，线段 $A F$ 的长为半径的圆与准线相切

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（）

A、点 $P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时， $M P ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、点 $P$ 为 $C_{1} D_{1}$ 中点时，过 $B, M, P$ 三点作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，则截面周长为 $2 \sqrt{5} + \frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $A C$ 与 $B D$ 交于 $O$ ，则四面体 $O - B_{1} C_{1} C$ 的外接球的表面积为 $2 π$ D、当 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上运动时，四面体 $P - B D M$ 体积的最大值为 $\frac{1}{4}$

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三、填空题

12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，则其体积为.

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13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过原点 $O$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 位于第二象限）， $M$ 为 $B F$ 的中点，直线 $O M$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线，且 $|B F| = 4 |A F|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在 $(x_{2}, g (x_{2}))$ 点处的切线平行，则 $2 x_{1} + g (x_{2}^{2}) =$ 若 $a > 0$ ， $a x^{a - 1} g (x) \leq f (x)$ 对于任意 $x > 1$ 都成立，则 $a$ 的最大值为 .

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四、解答题

15. 已知点 $M (\sin x \cos x, \sin^{2} x)$ ， $N (2, 2 \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点，函数 $f (x) = \vec{O M} \cdot \vec{O N}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及最小正周期

(2)、三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $A B = 2 A C$ ， $B D = 2$ .若 $f (A) = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A C D$ 的面积

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D$ $/ /$ $B C, P A = 2, A B = 1$ ， $B C = 1, A D = 2, M$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C M$ $/ /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A D$ .
①求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的正弦值；
②在线段 $B D$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $D$ 到平面 $P A Q$ 的距离为1？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型 $A, B, C$ .每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知 $A, B, C$ 三款模型通过算法设计评审的概率依次为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}$ ，通过工程部署验收的概率依次为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $A, B, C$ 三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；

(2)、若已知 $A, B, C$ 三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为 $A$ 的概率；

(3)、经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后， $A, B, C$ 三款模型能成功上线的数量为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x - e^{2 x} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明：对任意的 $x \in [0, + \infty), f (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{2} x^{2} - sin x$ ；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + 4 a e^{x} (a \in R)$ 有且仅有一个零点，证明：方程 $4 x^{2} + 8 a x + 3 a = 0$ 无实数根.

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19. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 4$ ， $S_{4} = 16$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2^{n} b_{1} + 2^{n - 1} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2 b_{n} = (n + 1) 2^{n + 1} - 2$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、将数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 各取前 $100$ 项，按从小到大排成一个新的数列 $\{d_{n}\}$ ，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求 $\{d_{n}\}$ 的前 $106$ 项和

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