广东省深圳实验学校高中园2025-2026学年高一上学期段考二（12月）数学试卷

试卷更新日期：2025-12-16 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 2, x \in R}, B = {0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(0, 2)$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 4 < 0$ C、 $\forall x \notin R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ D、 $\exists x \notin R, x^{2} - 2 x + 4 < 0$

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3. 已知 $p : - 3 < x < 1$ ， $q : \frac{x - 1}{x + 3} \leq 0$ ，则p是q的（）条件

A、既不充分又不必要 B、充要 C、必要不充分 D、充分不必要

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4. 幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象关于原点对称，且在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = x^{- 1}$ B、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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5. 设函数f（x）=log₂x+2^x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 设 $a = {0.3}^{2}, b = 2^{0.3}, c = \log_{\sqrt{2}} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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7. 已知 $f (x) = \{\begin{cases} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - x^{2} + 2 a x - 2 a + 1, x \geq 1 \end{cases}$ ，在 $(- \infty, + \infty)$ 满足 $\forall x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x {}_{2}} < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{7}, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{3})$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} k x + 2, & x \geq 0 \\ 2^{x}, & x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (f (x)) = \frac{1}{2}$ 有且仅有一根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{4}, 0)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为9 D、 $\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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10. 下列命题中，正确的有（）

A、函数 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一函数 B、函数 $y = 2 x + \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $y = \frac{f (2 x)}{\sqrt{2^{x} - 1}}$ 的定义域为 $[0, 4]$

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11. 设函数 $f (x) = (x - 2) | x |$ ，则（）

A、直线 $x = 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的对称轴 B、若函数 $f (x)$ 在 $(0, m)$ 上单调递减，则 $0 < m \leq 1$ C、对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 总成立 D、当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (2 - x) > f (x)$

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三、选择题：本题共3小题，每小题5分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

12. 已知函数 $f (x) = a^{x + 1} - 1$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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13. 已知函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 4 x - 5)$ 在 $(a, + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围是．

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14. 设奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上为增函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $x [f (x) - f (- x)] < 0$ 的解集为.

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四、选择题：本题共5小题，每小题13分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

15. 求下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - {(- 2020)}^{0}$ ；

(2)、 ${(\lg 5)}^{2} + \lg 2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 4 - \log_{3} 4 \times \log_{2} 3$ ；

(3)、若 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $a^{2} + a^{- 2}$ 的值．

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16. 已知函数 $f (x) = {l o g}_{2} (2^{x} - 1) .$ 求：

(1)、 $f (x)$ 的定义域；

(2)、使 $f (x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并利用单调性的定义证明；

(3)、若 $f (2 a + 1) + f (2 - a^{2}) > 0$ ，求a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2 k \cdot 3^{- x}$ 是 $R$ 上的奇函数，函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + 2$ ．

(1)、求实数k的值；

(2)、当 $x \in [0, 1]$ 时，函数 $g (x)$ 的最小值是关于a的函数 $m (a)$ ，求 $m (a)$ ；

(3)、若对任意的 $x \in [0, 1]$ ， $g (x) \geq 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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19. 2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95 $℃$ 的水冲泡，等茶水温度降至60 $℃$ 饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位： $℃$ ）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间／分钟
0
1
2
3
4
5
水温／ $℃$
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33

(1)、给出下列三种函数模型：① $y = a t + b (a < 0)$ ， ② $y = a \cdot b^{t} + c (a > 0, 0 < b < 1)$ ， ③ $y = \log_{a} (t + b) + c (b > 0, a > 1)$ ，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.

(2)、根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.477, \lg 5 \approx 0.699$ ）

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时间／分钟	0	1	2	3	4	5
水温／ $℃$	95.00	88.00	81.70	76.03	70.93	66.33