广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2026-01-03 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $M = {x | - 1 \leq x \leq 2$ 且 $x \in Z}$ ， $N = {x | y = \lg (x + 1)},$ 则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b <0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若a＜b＜0，则 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 满足： $f (\sqrt{x - 1}) = x^{2} + 1$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{4} + 2 x^{2} + 2, (x \geq 0)$ B、 $x, (x \geq 0)$ C、 $x^{4} + 2 x^{2} + 2, (x \geq 1)$ D、 $x, (x \geq 1)$

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4. 函数 $f (x) = \log_{2} (|x| + 1)$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ e^{x} + l n (x + 1), x \geq 0 \end{array}$ 在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, + \infty)$

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6. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {l o g}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = {l o g}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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7. 已知函数 $y = a {(\frac{1}{2})}^{|x - 1|} + b$ 的图象过原点，且无限接近于直线 $y = 2$ ，但不与该直线相交，则（）

A、 $a = - 1, b = 2$ B、 $a = - 1, b = 3$ C、 $a = - 4, b = 2$ D、 $a = - 4, b = 3$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 1|, x \leq 0 \\ |{l o g}_{4} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有4个不同的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{4}{x_{3} x_{4}^{2}} - x_{4} (x_{1} + x_{2})$ 的取值范围是（）

A、 $[4 \sqrt{2}, 6)$ B、 $[2, 4 \sqrt{2})$ C、 $(2, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[4 \sqrt{2}, 9]$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、命题： $\forall x \in R$ ， $x^{2} > - 1$ 的否定是： $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq - 1$ . B、关于 $x$ 的不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数都成立，则实数 $k$ 的取值范围是 $- 3 < k < 0$ . C、“ $x^{2} > y^{2}$ ”是“ $x > y$ ”的必要而不充分条件. D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正一负根”的充要条件.

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10. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 4$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为 $4$ B、 $2^{x} + 4^{y}$ 的最小值为 $8$ C、 $\frac{4}{x} + \frac{8}{y}$ 的最小值为 $9$ D、 $\frac{x^{2} + y}{x y}$ 的最小值为 $\sqrt{2} + \frac{1}{4}$

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11. 函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，该结论可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知函数 $g (x) = \frac{2}{2^{x} + m} (m > 0)$ ．（）

A、若 $m = 1$ ，则函数 $y = g (x) - 1$ 为奇函数 B、若 $m = 1$ ，则 $g (- 10) + g (- 9) + \cdot \cdot \cdot + g (9) + g (10) = 20$ C、函数 $g (x)$ 的图象必有对称中心 D、 $\forall x \in R$ ， $g [\log_{2} (2 m) + x] + g [\log_{2} (2 m) - x] < \frac{2}{m}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{5}} (- 2 x^{2} + 3 x + 2)$ 的单调递减区间为．

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13. 若方程 $5 - ln x = 2 x$ 的解所在区间为 $(k - 1, k)$ ， $k \in N^{*}$ ，则k的值为．

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14. 幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 6 m + 5) x^{2 m - 3}$ 没有零点，则函数 $g (x) = {log}_{a} (x + m) (a > 0 ， a \neq 1)$ 恒过定点

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四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知命题 $p$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} + a - 1 = 0$ 有实数根，命题 $q$ ： $m - 1 \leq a \leq m + 1$ .

(1)、若命题 $p$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \log_{a} (x + 1) (a > 0 且 a \neq 1)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）若 $- 1 < f (2) < 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + 4}{x}$ 为奇函数.

(1)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上是单调递增；

(2)、若对任意的 $x \in [2, 4]$ ，不等式 $f (x) \leq m^{2} - m - 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

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18. 为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2025年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金 $y$ （单位：万元）随收益 $x$ （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的20%，预计收益 $x \in [36, 900]$ .

(1)、分别判断以下三个函数模型： $y = {1.006}^{x}$ ， $y = 3 ln x + 4$ ， $y = \sqrt{x}$ ，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据： ${1.006}^{750} \approx 88.81$ ， ${1.006}^{760} \approx 94.29$ ， $ln 36 \approx 3.58$ ， $ln 900 \approx 6.80$ ）

(2)、已知函数模型 $y = a \sqrt{x} - 10$ 符合公司奖励方案的要求，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数m、n都满足等式 $f (m - n) + f (m + n) = f (2 m)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (2) = - 4$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，求 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 5]$ 上的最大值；

(3)、是否存在实数a，对于任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ， $b \in [- 1 ， 1]$ ，使得不等式 $f (x) < a^{2} - 2 a b + 2$ 恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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